Theorem resincncf 42150

Description: sin restricted to reals is continuous from reals to reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
resincncf	⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Proof of Theorem resincncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinf 15471	. . . . 5 ⊢ sin:ℂ⟶ℂ
2		ffn 6509	. . . . 5 ⊢ (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ sin Fn ℂ
4		ax-resscn 10588	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		fnssres 6465	. . . 4 ⊢ ((sin Fn ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (sin ↾ ℝ) Fn ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 690	. . 3 ⊢ (sin ↾ ℝ) Fn ℝ
7		fvres 6684	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
8		resincl 15487	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℝ)
9	7, 8	eqeltrd 2913	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	rgen 3148	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ
11		ffnfv 6877	. . 3 ⊢ ((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ↔ ((sin ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ((sin ↾ ℝ)‘𝑥) ∈ ℝ))
12	6, 10, 11	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
13		sincn 25026	. . . 4 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
14		rescncf 23499	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → (sin ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)))
15	4, 13, 14	mp2 9	. . 3 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)
16		cncffvrn 23500	. . 3 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℂ)) → ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ))
17	4, 15, 16	mp2an 690	. 2 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
18	12, 17	mpbir 233	1 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936   ↾ cres 5552   Fn wfn 6345  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  sincsin 15411  –cn→ccncf 23478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459

This theorem is referenced by:  fourierdlem18  42403  fourierdlem76  42460