MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resinval 14846
Description: The sine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
resinval (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))

Proof of Theorem resinval
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9980 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
2 recn 10011 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3 cjmul 13863 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
41, 2, 3sylancr 694 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
5 cji 13880 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
65oveq1i 6645 . . . . . . . 8 ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
7 cjre 13860 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘𝐴) = 𝐴)
87oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (-i · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
96, 8syl5eq 2666 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · 𝐴))
104, 9eqtrd 2654 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (∗‘(i · 𝐴)) = (-i · 𝐴))
1110fveq2d 6182 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (exp‘(-i · 𝐴)))
12 mulcl 10005 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
131, 2, 12sylancr 694 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 efcj 14803 . . . . . 6 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(∗‘(i · 𝐴))) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1611, 15eqtr3d 2656 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (exp‘(-i · 𝐴)) = (∗‘(exp‘(i · 𝐴))))
1716oveq2d 6651 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))))
1817oveq1d 6650 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
19 sinval 14833 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
202, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
21 efcl 14794 . . 3 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
22 imval2 13872 . . 3 ((exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2313, 21, 223syl 18 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (∗‘(exp‘(i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2418, 20, 233eqtr4d 2664 1 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = (ℑ‘(exp‘(i · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  ici 9923   · cmul 9926  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  2c2 11055  ccj 13817  cim 13819  expce 14773  sincsin 14775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-ico 12166  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781
This theorem is referenced by:  resin4p  14849  resincl  14851  argimgt0  24339
  Copyright terms: Public domain W3C validator