MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resixp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resixp 7985
Description: Restriction of an element of an infinite Cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resixp ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resixp
StepHypRef Expression
1 resexg 5477 . . 3 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 → (𝐹𝐵) ∈ V)
21adantl 481 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ V)
3 simpr 476 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹X𝑥𝐴 𝐶)
4 elixp2 7954 . . . . 5 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
53, 4sylib 208 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
65simp2d 1094 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹 Fn 𝐴)
7 simpl 472 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐵𝐴)
8 fnssres 6042 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 694 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
105simp3d 1095 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
11 ssralv 3699 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
127, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
13 fvres 6245 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
1413eleq1d 2715 . . . 4 (𝑥𝐵 → (((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
1514ralbiia 3008 . . 3 (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
1612, 15sylibr 224 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶)
17 elixp2 7954 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶))
182, 9, 16, 17syl3anbrc 1265 1 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  cres 5145   Fn wfn 5921  cfv 5926  Xcixp 7950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-res 5155  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-fv 5934  df-ixp 7951
This theorem is referenced by:  resixpfo  7988  ixpfi2  8305  ptrescn  21490  ptuncnv  21658  ptcmplem2  21904
  Copyright terms: Public domain W3C validator