MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reslmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reslmhm2 18972
Description: Expansion of the codomain of a homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
reslmhm2.u 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
reslmhm2.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
reslmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))

Proof of Theorem reslmhm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2 eqid 2621 . 2 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
3 eqid 2621 . 2 ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2621 . 2 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
5 eqid 2621 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2621 . 2 (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
7 lmhmlmod1 18952 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝑆 ∈ LMod)
873ad2ant1 1080 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑆 ∈ LMod)
9 simp2 1060 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑇 ∈ LMod)
10 reslmhm2.u . . . . 5 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
1110, 5resssca 15952 . . . 4 (𝑋𝐿 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
12113ad2ant3 1082 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑈))
13 eqid 2621 . . . . 5 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
144, 13lmhmsca 18949 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
15143ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑆))
1612, 15eqtrd 2655 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))
17 lmghm 18950 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
18173ad2ant1 1080 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈))
19 reslmhm2.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑇)
2019lsssubg 18876 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
21203adant1 1077 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇))
2210resghm2 17598 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubGrp‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2318, 21, 22syl2anc 692 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
24 eqid 2621 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
254, 6, 1, 2, 24lmhmlin 18954 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
26253expb 1263 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
27263ad2antl1 1221 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
28 simpl3 1064 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → 𝑋𝐿)
2910, 3ressvsca 15953 . . . . 5 (𝑋𝐿 → ( ·𝑠𝑇) = ( ·𝑠𝑈))
3029oveqd 6621 . . . 4 (𝑋𝐿 → (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
3128, 30syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑈)(𝐹𝑦)))
3227, 31eqtr4d 2658 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥( ·𝑠𝑆)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑇)(𝐹𝑦)))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 16, 23, 32islmhmd 18958 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑈) ∧ 𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐿) → 𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  s cress 15782  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  SubGrpcsubg 17509   GrpHom cghm 17578  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851   LMHom clmhm 18938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lmhm 18941
This theorem is referenced by:  reslmhm2b  18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator