MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resmhm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resmhm2 17559
Description: One direction of resmhm2b 17560. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resmhm2.u 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
Assertion
Ref Expression
resmhm2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))

Proof of Theorem resmhm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhmrcl1 17537 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝑆 ∈ Mnd)
2 submrcl 17545 . . 3 (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑇 ∈ Mnd)
31, 2anim12i 591 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd))
4 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
5 eqid 2758 . . . . 5 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
64, 5mhmf 17539 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈))
7 resmhm2.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑇s 𝑋)
87submbas 17554 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 = (Base‘𝑈))
9 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
109submss 17549 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝑇))
118, 10eqsstr3d 3779 . . . 4 (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇))
12 fss 6215 . . . 4 ((𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑈) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
136, 11, 12syl2an 495 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇))
14 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝑆) = (+g𝑆)
15 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝑈) = (+g𝑈)
164, 14, 15mhmlin 17541 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆)) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑈)(𝐹𝑦)))
17163expb 1114 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑈)(𝐹𝑦)))
1817adantlr 753 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑈)(𝐹𝑦)))
19 eqid 2758 . . . . . . . 8 (+g𝑇) = (+g𝑇)
207, 19ressplusg 16193 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (+g𝑇) = (+g𝑈))
2120ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (+g𝑇) = (+g𝑈))
2221oveqd 6828 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑈)(𝐹𝑦)))
2318, 22eqtr4d 2795 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑆))) → (𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)))
2423ralrimivva 3107 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)))
25 eqid 2758 . . . . . 6 (0g𝑆) = (0g𝑆)
26 eqid 2758 . . . . . 6 (0g𝑈) = (0g𝑈)
2725, 26mhm0 17542 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑈))
2827adantr 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑈))
29 eqid 2758 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
307, 29subm0 17555 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇) → (0g𝑇) = (0g𝑈))
3130adantl 473 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (0g𝑇) = (0g𝑈))
3228, 31eqtr4d 2795 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))
3313, 24, 323jca 1123 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇)))
344, 9, 14, 19, 25, 29ismhm 17536 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Mnd ∧ 𝑇 ∈ Mnd) ∧ (𝐹:(Base‘𝑆)⟶(Base‘𝑇) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝐹‘(𝑥(+g𝑆)𝑦)) = ((𝐹𝑥)(+g𝑇)(𝐹𝑦)) ∧ (𝐹‘(0g𝑆)) = (0g𝑇))))
353, 33, 34sylanbrc 701 1 ((𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑈) ∧ 𝑋 ∈ (SubMnd‘𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆 MndHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wral 3048  wss 3713  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  Basecbs 16057  s cress 16058  +gcplusg 16141  0gc0g 16300  Mndcmnd 17493   MndHom cmhm 17532  SubMndcsubmnd 17533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-ress 16065  df-plusg 16154  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-mhm 17534  df-submnd 17535
This theorem is referenced by:  resmhm2b  17560  resghm2  17876  zrhpsgnmhm  20130  lgseisenlem4  25300
  Copyright terms: Public domain W3C validator