MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqcld 13249
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqcl 13145 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6814  cr 10147  2c2 11282  cexp 13074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-seq 13016  df-exp 13075
This theorem is referenced by:  cjmulge0  14105  sqrlem1  14202  sqrlem6  14207  sqrlem7  14208  absrele  14267  abstri  14289  amgm2  14328  sinbnd  15129  cosbnd  15130  cos01bnd  15135  cos01gt0  15140  absefi  15145  pythagtriplem10  15747  pockthg  15832  prmreclem1  15842  4sqlem12  15882  4sqlem15  15885  4sqlem16  15886  prmlem1  16036  prmlem2  16049  cphnmf  23215  reipcl  23217  ipcau2  23253  csbren  23402  trirn  23403  rrxmval  23408  rrxmet  23411  rrxdstprj1  23412  minveclem2  23417  minveclem3b  23419  minveclem3  23420  minveclem4  23423  minveclem6  23425  minveclem7  23426  pjthlem1  23428  itgabs  23820  dveflem  23961  tangtx  24477  tanregt0  24505  cxpsqrt  24669  lawcoslem1  24765  birthdaylem3  24900  cxp2limlem  24922  basellem8  25034  bposlem6  25234  2sqblem  25376  rplogsumlem2  25394  logdivsum  25442  mulog2sumlem1  25443  mulog2sumlem2  25444  vmalogdivsum2  25447  log2sumbnd  25453  selberglem2  25455  logdivbnd  25465  pntpbnd1a  25494  pntlemb  25506  pntlemr  25511  pntlemk  25515  pntlemo  25516  eqeelen  26004  brbtwn2  26005  colinearalglem4  26009  axcgrid  26016  axsegconlem2  26018  axsegconlem3  26019  axsegconlem9  26025  ax5seglem1  26028  ax5seglem2  26029  ax5seglem3  26031  ax5seg  26038  ipval2lem2  27889  minvecolem2  28061  minvecolem3  28062  minvecolem4  28066  minvecolem5  28067  minvecolem6  28068  minvecolem7  28069  normpyc  28333  pjhthlem1  28580  chscllem2  28827  pjssposi  29361  hstle1  29415  hst1h  29416  hstle  29419  hstoh  29421  strlem3a  29441  2sqmod  29978  sqsscirc1  30284  hgt750lemf  31061  hgt750leme  31066  tgoldbachgtde  31068  sinccvglem  31894  itgabsnc  33810  dvasin  33827  areacirclem1  33831  areacirclem2  33832  areacirclem4  33834  areacirc  33836  cntotbnd  33926  rrnmet  33959  rrndstprj1  33960  rrndstprj2  33961  pellexlem2  37914  pellexlem6  37918  pell14qrgt0  37943  pell1qrgaplem  37957  rmspecnonsq  37992  rmspecpos  38001  jm3.1lem2  38105  sqrlearg  40301  dvdivbd  40659  stirlinglem10  40821  fourierdlem56  40900  fourierdlem57  40901  rrxdsfi  41026  rrxtopnfi  41027  rrndistlt  41031  hoiqssbllem2  41361  smfmullem1  41522
  Copyright terms: Public domain W3C validator