MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resqcld 12855
Description: Closure of square in reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
resqcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
resqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)

Proof of Theorem resqcld
StepHypRef Expression
1 resqcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 resqcl 12751 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  cr 9792  2c2 10920  cexp 12680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-seq 12622  df-exp 12681
This theorem is referenced by:  cjmulge0  13683  sqrlem1  13780  sqrlem6  13785  sqrlem7  13786  absrele  13845  abstri  13867  amgm2  13906  sinbnd  14698  cosbnd  14699  cos01bnd  14704  cos01gt0  14709  absefi  14714  pythagtriplem10  15312  pockthg  15397  prmreclem1  15407  4sqlem12  15447  4sqlem15  15450  4sqlem16  15451  prmlem1  15601  prmlem2  15614  cphnmf  22748  reipcl  22750  ipcau2  22786  csbren  22935  trirn  22936  rrxmval  22941  rrxmet  22944  rrxdstprj1  22945  minveclem2  22950  minveclem3b  22952  minveclem3  22953  minveclem4  22956  minveclem6  22958  minveclem7  22959  pjthlem1  22961  itgabs  23352  dveflem  23491  tangtx  24006  tanregt0  24034  cxpsqrt  24194  lawcoslem1  24290  birthdaylem3  24425  cxp2limlem  24447  basellem8  24559  bposlem6  24759  2sqblem  24901  rplogsumlem2  24919  logdivsum  24967  mulog2sumlem1  24968  mulog2sumlem2  24969  vmalogdivsum2  24972  log2sumbnd  24978  selberglem2  24980  logdivbnd  24990  pntpbnd1a  25019  pntlemb  25031  pntlemr  25036  pntlemk  25040  pntlemo  25041  eqeelen  25530  brbtwn2  25531  colinearalglem4  25535  axcgrid  25542  axsegconlem2  25544  axsegconlem3  25545  axsegconlem9  25551  ax5seglem1  25554  ax5seglem2  25555  ax5seglem3  25557  ax5seg  25564  ipval2lem2  26772  ipval2lem5  26778  minvecolem2  26949  minvecolem3  26950  minvecolem4  26954  minvecolem5  26955  minvecolem6  26956  minvecolem7  26957  normpyc  27221  pjhthlem1  27468  chscllem2  27715  pjssposi  28249  hstle1  28303  hst1h  28304  hstle  28307  hstoh  28309  strlem3a  28329  2sqmod  28813  sqsscirc1  29116  sinccvglem  30654  itgabsnc  32473  dvasin  32490  areacirclem1  32494  areacirclem2  32495  areacirclem4  32497  areacirc  32499  cntotbnd  32589  rrnmet  32622  rrndstprj1  32623  rrndstprj2  32624  pellexlem2  36236  pellexlem6  36240  pell14qrgt0  36265  pell1qrgaplem  36279  rmspecnonsq  36314  rmspecpos  36323  jm3.1lem2  36427  sqrlearg  38451  dvdivbd  38637  stirlinglem10  38800  fourierdlem56  38879  fourierdlem57  38880  rrxdsfi  39005  rrxtopnfi  39006  rrndistlt  39010  hoiqssbllem2  39337  smfmullem1  39500
  Copyright terms: Public domain W3C validator