Theorem resqrtcn 25329

Description: Continuity of the real square root function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
resqrtcn	⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Proof of Theorem resqrtcn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrtf 14722	. . . . . . 7 ⊢ √:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → √:ℂ⟶ℂ)
3	2	feqmptd 6732	. . . . 5 ⊢ (⊤ → √ = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)))
4	3	reseq1d 5851	. . . 4 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)))
5		elrege0 12841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
6	5	simplbi 500	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10668	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	7	ssriv 3970	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
9		resmpt 5904	. . . . 5 ⊢ ((0[,)+∞) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
10	8, 9	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (√‘𝑥)) ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
11	4, 10	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (⊤ → (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)))
12	11	mptru 1540	. 2 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
13		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
14		resqrtcl 14612	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
15	5, 14	sylbi 219	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
16	13, 15	fmpti 6875	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ
17		ax-resscn 10593	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
18		cxpsqrt 25285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
19	7, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
20	19	mpteq2ia 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥))
21		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
22	21	cnfldtopon 23390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
24		resttopon 21768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
25	23, 8, 24	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,)+∞)))
26	25	cnmptid 22268	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ 𝑥) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))))
27		cnvimass 5948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ dom ℜ
28		ref 14470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℜ:ℂ⟶ℝ
29	28	fdmi 6523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom ℜ = ℂ
30	27, 29	sseqtri 4002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ
31		resttopon 21768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (◡ℜ “ ℝ+) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
32	23, 30, 31	sylancl 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) ∈ (TopOn‘(◡ℜ “ ℝ+)))
33		halfcn 11851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
34		1rp 12392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ+
35		rphalfcl 12415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ+)
36	34, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ+
37		rpre 12396	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ+ → (1 / 2) ∈ ℝ)
38		rere 14480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℝ → (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2))
39	36, 37, 38	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) = (1 / 2)
40	39, 36	eqeltri 2909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+
41		ffn 6513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ:ℂ⟶ℝ → ℜ Fn ℂ)
42		elpreima 6827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ Fn ℂ → ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+)))
43	28, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↔ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(1 / 2)) ∈ ℝ+))
44	33, 40, 43	mpbir2an 709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (1 / 2) ∈ (◡ℜ “ ℝ+))
46	25, 32, 45	cnmptc 22269	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (1 / 2)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))))
47		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡ℜ “ ℝ+) = (◡ℜ “ ℝ+)
48		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
49		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))
50	47, 21, 48, 49	cxpcn3 25328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld))
51	50	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (0[,)+∞), 𝑧 ∈ (◡ℜ “ ℝ+) ↦ (𝑦↑𝑐𝑧)) ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ×t ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (◡ℜ “ ℝ+))) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
52		oveq12 7164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑧 = (1 / 2)) → (𝑦↑𝑐𝑧) = (𝑥↑𝑐(1 / 2)))
53	25, 26, 46, 25, 32, 51, 52	cnmpt12 22274	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
54		ssid 3988	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
55	22	toponrestid 21528	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
56	21, 48, 55	cncfcn 23516	. . . . . . . 8 ⊢ (((0[,)+∞) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
57	8, 54, 56	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ ((0[,)+∞)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
58	53, 57	eleqtrrdi 2924	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
59	20, 58	eqeltrrid 2918	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ))
60	59	mptru 1540	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)
61		cncffvrn 23505	. . . 4 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ))
62	17, 60, 61	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)):(0[,)+∞)⟶ℝ)
63	16, 62	mpbir 233	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ (√‘𝑥)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)
64	12, 63	eqeltri 2909	1 ⊢ (√ ↾ (0[,)+∞)) ∈ ((0[,)+∞)–cn→ℝ)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065   ↦ cmpt 5145  ^◡ccnv 5553  dom cdm 5554   ↾ cres 5556   “ cima 5557   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157  ℂcc 10534  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537  +∞cpnf 10671   ≤ cle 10675   / cdiv 11296  2c2 11691  ℝ⁺crp 12388  [,)cico 12739  ℜcre 14455  √csqrt 14591   ↾_t crest 16693  TopOpenctopn 16694  ℂ_fldccnfld 20544  TopOnctopon 21517   Cn ccn 21831   ×_t ctx 22167  –cn→ccncf 23483  ↑_𝑐ccxp 25138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-tan 15424  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-cmp 21994  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464  df-log 25139  df-cxp 25140

This theorem is referenced by:  loglesqrt  25338  rpsqrtcn  31864  areacirclem2  34982