Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ress0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ress0g 17441
 Description: 0g is unaffected by restriction. This is a bit more generic than submnd0 17442. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ress0g.s 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
ress0g.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ress0g.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ress0g ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝑆))

Proof of Theorem ress0g
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ress0g.s . . . 4 𝑆 = (𝑅s 𝐴)
2 ress0g.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
31, 2ressbas2 16054 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 = (Base‘𝑆))
433ad2ant3 1127 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
5 simp3 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
6 fvex 6314 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
72, 6eqeltri 2799 . . . 4 𝐵 ∈ V
8 ssexg 4912 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
95, 7, 8sylancl 697 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ V)
10 eqid 2724 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
111, 10ressplusg 16116 . . 3 (𝐴 ∈ V → (+g𝑅) = (+g𝑆))
129, 11syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → (+g𝑅) = (+g𝑆))
13 simp2 1129 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0𝐴)
14 simpl1 1204 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ Mnd)
155sselda 3709 . . 3 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
16 ress0g.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
172, 10, 16mndlid 17433 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
1814, 15, 17syl2anc 696 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ( 0 (+g𝑅)𝑥) = 𝑥)
192, 10, 16mndrid 17434 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥(+g𝑅) 0 ) = 𝑥)
2014, 15, 19syl2anc 696 . 2 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(+g𝑅) 0 ) = 𝑥)
214, 12, 13, 18, 20grpidd 17390 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 0𝐴𝐴𝐵) → 0 = (0g𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ⊆ wss 3680  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980   ↾s cress 15981  +gcplusg 16064  0gc0g 16223  Mndcmnd 17416 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417 This theorem is referenced by:  nn0srg  19939  rge0srg  19940  zring0  19951  re0g  20081  ressnm  29881  xrge0slmod  30074  psgnid  30077  2zrng0  42365
 Copyright terms: Public domain W3C validator