MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resscdrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resscdrg 23346
Description: The real numbers are a subset of any complete subfield in the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
resscdrg.1 𝐹 = (ℂflds 𝐾)
Assertion
Ref Expression
resscdrg ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)

Proof of Theorem resscdrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2752 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21cnfldtop 22780 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
3 ax-resscn 10177 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
4 qssre 11983 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
51cnfldtopon 22779 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
65toponunii 20915 . . . . . 6 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
71tgioo2 22799 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
86, 7restcls 21179 . . . . 5 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ℂ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ))
92, 3, 4, 8mp3an 1565 . . . 4 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ)
10 qdensere 22766 . . . 4 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
119, 10eqtr3i 2776 . . 3 (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ
12 sseqin2 3952 . . 3 (ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ↔ (((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ∩ ℝ) = ℝ)
1311, 12mpbir 221 . 2 ℝ ⊆ ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ)
14 simp3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐹 ∈ CMetSp)
15 cncms 23343 . . . . 5 fld ∈ CMetSp
16 cnfldbas 19944 . . . . . . 7 ℂ = (Base‘ℂfld)
1716subrgss 18975 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝐾 ⊆ ℂ)
18173ad2ant1 1127 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ⊆ ℂ)
19 resscdrg.1 . . . . . 6 𝐹 = (ℂflds 𝐾)
2019, 16, 1cmsss 23339 . . . . 5 ((ℂfld ∈ CMetSp ∧ 𝐾 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
2115, 18, 20sylancr 698 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → (𝐹 ∈ CMetSp ↔ 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld))))
2214, 21mpbid 222 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → 𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)))
2319eleq1i 2822 . . . . 5 (𝐹 ∈ DivRing ↔ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing)
24 qsssubdrg 19999 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds 𝐾) ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
2523, 24sylan2b 493 . . . 4 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing) → ℚ ⊆ 𝐾)
26253adant3 1126 . . 3 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℚ ⊆ 𝐾)
276clsss2 21070 . . 3 ((𝐾 ∈ (Clsd‘(TopOpen‘ℂfld)) ∧ ℚ ⊆ 𝐾) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
2822, 26, 27syl2anc 696 . 2 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ((cls‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℚ) ⊆ 𝐾)
2913, 28syl5ss 3747 1 ((𝐾 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐹 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ CMetSp) → ℝ ⊆ 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  cin 3706  wss 3707  ran crn 5259  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  cq 11973  (,)cioo 12360  s cress 16052  TopOpenctopn 16276  topGenctg 16292  DivRingcdr 18941  SubRingcsubrg 18970  fldccnfld 19940  Topctop 20892  Clsdccld 21014  clsccl 21016  CMetSpccms 23321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-mulg 17734  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-cring 18742  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-dvr 18875  df-drng 18943  df-subrg 18972  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-cmp 21384  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-flim 21936  df-fcls 21938  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-cfil 23245  df-cmet 23247  df-cms 23324
This theorem is referenced by:  cncdrg  23347  hlress  23356
  Copyright terms: Public domain W3C validator