Theorem ressid 16553

Description: Behavior of trivial restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ressid.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ressid	⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Proof of Theorem ressid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3989	. 2 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
2		ressid.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3	2	fvexi 6679	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
4		eqid 2821	. . 3 ⊢ (𝑊 ↾s 𝐵) = (𝑊 ↾s 𝐵)
5	4, 2	ressid2 16546	. 2 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)
6	1, 3, 5	mp3an13 1448	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑋 → (𝑊 ↾s 𝐵) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-ress 16485

This theorem is referenced by:  ressval3d  16555  submid  17969  subgid  18275  gaid2  18427  subrgid  19531  sdrgid  19569  rlmval2  19960  rlmsca  19966  rlmsca2  19967  evlrhm  20303  evlsscasrng  20304  evlsvarsrng  20306  evl1sca  20491  evl1var  20493  evls1scasrng  20496  evls1varsrng  20497  pf1ind  20512  evl1gsumadd  20515  evl1varpw  20518  pjff  20850  dsmmfi  20876  frlmip  20916  cnstrcvs  23739  cncvs  23743  rlmbn  23958  ishl2  23967  rrxprds  23986  dchrptlem2  25835  rgmoddim  31003  qusdimsum  31019  fldextid  31044  lnmfg  39675  lmhmfgsplit  39679  pwslnmlem2  39686  simpcntrab  43120  submgmid  44053