Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ressiocsup Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressiocsup 39192
Description: If the supremum belongs to a set of reals, the set is a subset of the unbounded below, right-closed interval, with upper bound equal to the supremum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ressiocsup.a (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
ressiocsup.s 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
ressiocsup.e (𝜑𝑆𝐴)
ressiocsup.5 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressiocsup (𝜑𝐴𝐼)

Proof of Theorem ressiocsup
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10040 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ ∈ ℝ*)
3 ressiocsup.s . . . . . 6 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < )
4 ressiocsup.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
5 ressxr 10027 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ*
65a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
74, 6sstrd 3593 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ*)
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
98supxrcld 38777 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
103, 9syl5eqel 2702 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℝ*)
117sselda 3583 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
124adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1412, 13sseldd 3584 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514mnfltd 11902 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → -∞ < 𝑥)
16 supxrub 12097 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
178, 13, 16syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≤ sup(𝐴, ℝ*, < ))
183a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 = sup(𝐴, ℝ*, < ))
1918eqcomd 2627 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = 𝑆)
2017, 19breqtrd 4639 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑆)
212, 10, 11, 15, 20eliocd 39141 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (-∞(,]𝑆))
22 ressiocsup.5 . . . 4 𝐼 = (-∞(,]𝑆)
2321, 22syl6eleqr 2709 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐼)
2423ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
25 dfss3 3573 . 2 (𝐴𝐼 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝐼)
2624, 25sylibr 224 1 (𝜑𝐴𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  supcsup 8290  cr 9879  -∞cmnf 10016  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019  (,]cioc 12118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-ioc 12122
This theorem is referenced by:  pimdecfgtioc  40232  pimincfltioc  40233
  Copyright terms: Public domain W3C validator