Theorem resslem 16551

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslem.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressid2 16546	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6669	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
5	4	3expib 1118	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
6	1, 2	ressval2 16547	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
7	6	fveq2d 6669	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		resslem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		resslem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 16503	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11	8, 9	ndxarg 16502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
12		1re 10635	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resslem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
14	12, 13	gtneii 10746	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
15	11, 14	eqnetri 3086	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
16		basendx 16541	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17	15, 16	neeqtrri 3089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
18	10, 17	setsnid 16533	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
19	7, 18	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1118	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	5, 20	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmress 16544	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
23	22	ovprc1 7189	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
24	1, 23	syl5eq 2868	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6669	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	8	str0 16529	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6658	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2859	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 483	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 810	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32		resslem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
33	31, 32	syl6reqr 2875	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  ⟨cop 4567   class class class wbr 5059  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150  1c1 10532   < clt 10669  ℕcn 11632  ndxcnx 16474   sSet csts 16475  Slot cslot 16476  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-nn 11633  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485

This theorem is referenced by:  ressplusg  16606  ressmulr  16619  ressstarv  16620  resssca  16644  ressvsca  16645  ressip  16646  resstset  16659  ressle  16666  ressds  16680  resshom  16685  ressco  16686  ressunif  22865