Theorem resslem 15980

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslem.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressid2 15975	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6233	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
5	4	3expib 1287	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
6	1, 2	ressval2 15976	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
7	6	fveq2d 6233	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		resslem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		resslem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 15930	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11	8, 9	ndxarg 15929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
12		1re 10077	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resslem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
14	12, 13	gtneii 10187	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
15	11, 14	eqnetri 2893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
16		basendx 15970	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17	15, 16	neeqtrri 2896	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
18	10, 17	setsnid 15962	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
19	7, 18	syl6eqr 2703	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1287	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	5, 20	pm2.61i 176	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmress 15973	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
23	22	ovprc1 6724	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
24	1, 23	syl5eq 2697	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6233	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	8	str0 15958	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	syl6eqr 2703	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6223	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2688	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32		resslem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
33	31, 32	syl6reqr 2704	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975   < clt 10112  ℕcn 11058  ndxcnx 15901   sSet csts 15902  Slot cslot 15903  Basecbs 15904   ↾_s cress 15905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-nn 11059  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912

This theorem is referenced by:  ressplusg  16040  ressmulr  16053  ressstarv  16054  resssca  16078  ressvsca  16079  ressip  16080  resstset  16093  ressle  16106  ressds  16120  resshom  16125  ressco  16126  ressunif  22113