Theorem resslem 15760

Description: Other elements of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
resslem.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resslem.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resslem.f	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
resslem.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
resslem.b	⊢ 1 < 𝑁

Assertion

Ref	Expression
resslem	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resslem.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
2		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3	1, 2	ressid2 15755	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
5	4	3expib 1260	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
6	1, 2	ressval2 15756	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
7	6	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		resslem.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
9		resslem.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
10	8, 9	ndxid 15716	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
11	8, 9	ndxarg 15715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
12		1re 9918	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		resslem.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 𝑁
14	12, 13	gtneii 10028	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 ≠ 1
15	11, 14	eqnetri 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ 1
16		basendx 15751	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17	15, 16	neeqtrri 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
18	10, 17	setsnid 15743	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
19	7, 18	syl6eqr 2662	. . . . 5 ⊢ ((¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
20	19	3expib 1260	. . . 4 ⊢ (¬ (Base‘𝑊) ⊆ 𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊)))
21	5, 20	pm2.61i 175	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
22		reldmress 15753	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
23	22	ovprc1 6582	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝐴) = ∅)
24	1, 23	syl5eq 2656	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
25	24	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘∅))
26	8	str0 15739	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (𝐸‘∅)
27	25, 26	syl6eqr 2662	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = ∅)
28		fvprc 6097	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑊) = ∅)
29	27, 28	eqtr4d 2647	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
30	29	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
31	21, 30	pm2.61ian 827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
32		resslem.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
33	31, 32	syl6reqr 2663	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   < clt 9953  ℕcn 10897  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Slot cslot 15694  Basecbs 15695   ↾_s cress 15696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702

This theorem is referenced by:  ressplusg  15818  ressmulr  15829  ressstarv  15830  resssca  15854  ressvsca  15855  ressip  15856  resstset  15869  ressle  15882  ressds  15896  resshom  15901  ressco  15902  ressunif  21876