Theorem ressmpladd 20237

Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmpl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressmpl.u	⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
ressmpl.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p	⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ressmpladd	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmpladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmpl.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3		ressmpl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
5	1, 2, 3, 4	mplbasss 20211	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
6	5	sseli 3962	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7	5	sseli 3962	. . . 4 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐵 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
8	6, 7	anim12i 614	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
10		ressmpl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
11		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
12		ressmpl.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
13	9, 10, 2, 4, 11, 12	resspsradd 20195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
14	8, 13	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
15	3	fvexi 6683	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
16	1, 2, 3	mplval2 20210	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
17		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
18	16, 17	ressplusg 16611	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘𝑈))
19	15, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (+g‘𝑈)
20	19	oveqi 7168	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)𝑌)
21		fvex 6682	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) ∈ V
22		ressmpl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
23		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
24	22, 9, 23	mplval2 20210	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
25		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
26	24, 25	ressplusg 16611	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑆) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆))
27	21, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑆)
28		fvex 6682	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
29	11, 25	ressplusg 16611	. . . . 5 ⊢ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
31		ressmpl.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s 𝐵)
32		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
33	31, 32	ressplusg 16611	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃))
34	15, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑃)
35	27, 30, 34	3eqtr3i 2852	. . 3 ⊢ (+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = (+g‘𝑃)
36	35	oveqi 7168	. 2 ⊢ (𝑋(+g‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌)
37	14, 20, 36	3eqtr3g 2879	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(+g‘𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘𝑃)𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482   ↾_s cress 16483  +_gcplusg 16564  SubRingcsubrg 19530   mPwSer cmps 20130   mPoly cmpl 20132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-tset 16583  df-subg 18275  df-ring 19298  df-subrg 19532  df-psr 20135  df-mpl 20137

This theorem is referenced by:  ressply1add  20397