Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplbas2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmplbas2 19657
 Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmplbas2.w 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
ressmplbas2.c 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressmplbas2.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
ressmplbas2 (𝜑𝐵 = (𝐶𝐾))

Proof of Theorem ressmplbas2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressmpl.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
2 ressmpl.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4 ressmpl.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
5 ressmplbas2.w . . . . . . . 8 𝑊 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
6 ressmplbas2.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑊)
73, 4, 5, 6subrgpsr 19621 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
81, 2, 7syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
9 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
109subrgss 18983 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (SubRing‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
12 df-ss 3729 . . . . 5 (𝐶 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ↔ (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
1311, 12sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) = 𝐶)
14 eqid 2760 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
154, 14subrg0 18989 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (0g𝑅) = (0g𝐻))
162, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g𝐻))
1716breq2d 4816 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 finSupp (0g𝑅) ↔ 𝑓 finSupp (0g𝐻)))
1817abbidv 2879 . . . 4 (𝜑 → {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)} = {𝑓𝑓 finSupp (0g𝐻)})
1913, 18ineq12d 3958 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)}) = (𝐶 ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝐻)}))
2019eqcomd 2766 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝐻)}) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)}))
21 ressmpl.u . . . 4 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
22 eqid 2760 . . . 4 (0g𝐻) = (0g𝐻)
23 ressmpl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
2421, 5, 6, 22, 23mplbas 19631 . . 3 𝐵 = {𝑓𝐶𝑓 finSupp (0g𝐻)}
25 dfrab3 4045 . . 3 {𝑓𝐶𝑓 finSupp (0g𝐻)} = (𝐶 ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝐻)})
2624, 25eqtri 2782 . 2 𝐵 = (𝐶 ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝐻)})
27 ressmpl.s . . . . . 6 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
28 ressmplbas2.k . . . . . 6 𝐾 = (Base‘𝑆)
2927, 3, 9, 14, 28mplbas 19631 . . . . 5 𝐾 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}
30 dfrab3 4045 . . . . 5 {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)})
3129, 30eqtri 2782 . . . 4 𝐾 = ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)})
3231ineq2i 3954 . . 3 (𝐶𝐾) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)}))
33 inass 3966 . . 3 ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)}) = (𝐶 ∩ ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)}))
3432, 33eqtr4i 2785 . 2 (𝐶𝐾) = ((𝐶 ∩ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))) ∩ {𝑓𝑓 finSupp (0g𝑅)})
3520, 26, 343eqtr4g 2819 1 (𝜑𝐵 = (𝐶𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  {crab 3054   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   finSupp cfsupp 8440  Basecbs 16059   ↾s cress 16060  0gc0g 16302  SubRingcsubrg 18978   mPwSer cmps 19553   mPoly cmpl 19555 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-psr 19558  df-mpl 19560 This theorem is referenced by:  ressmplbas  19658  subrgmpl  19662  ressply1bas2  19800
 Copyright terms: Public domain W3C validator