MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressmplvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressmplvsca 20168
Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressmpl.s 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ressmpl.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressmpl.u 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
ressmpl.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressmpl.1 (𝜑𝐼𝑉)
ressmpl.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressmpl.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressmplvsca ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressmplvsca
StepHypRef Expression
1 ressmpl.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPoly 𝐻)
2 eqid 2818 . . . . 5 (𝐼 mPwSer 𝐻) = (𝐼 mPwSer 𝐻)
3 ressmpl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2818 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
51, 2, 3, 4mplbasss 20140 . . . 4 𝐵 ⊆ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
65sseli 3960 . . 3 (𝑌𝐵𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
7 eqid 2818 . . . 4 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
8 ressmpl.h . . . 4 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
9 eqid 2818 . . . 4 ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))) = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))
10 ressmpl.2 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
117, 8, 2, 4, 9, 10resspsrvsca 20126 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
126, 11sylanr2 679 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌))
133fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
141, 2, 3mplval2 20139 . . . . 5 𝑈 = ((𝐼 mPwSer 𝐻) ↾s 𝐵)
15 eqid 2818 . . . . 5 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))
1614, 15ressvsca 16639 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠𝑈))
1713, 16ax-mp 5 . . 3 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) = ( ·𝑠𝑈)
1817oveqi 7158 . 2 (𝑋( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌)
19 fvex 6676 . . . . 5 (Base‘𝑆) ∈ V
20 ressmpl.s . . . . . . 7 𝑆 = (𝐼 mPoly 𝑅)
21 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2220, 7, 21mplval2 20139 . . . . . 6 𝑆 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑆))
23 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2422, 23ressvsca 16639 . . . . 5 ((Base‘𝑆) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆))
2519, 24ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠𝑆)
26 fvex 6676 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V
279, 23ressvsca 16639 . . . . 5 ((Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)) ∈ V → ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))))
2826, 27ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))
29 ressmpl.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
30 eqid 2818 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
3129, 30ressvsca 16639 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
3213, 31ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃)
3325, 28, 323eqtr3i 2849 . . 3 ( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻)))) = ( ·𝑠𝑃)
3433oveqi 7158 . 2 (𝑋( ·𝑠 ‘((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘(𝐼 mPwSer 𝐻))))𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌)
3512, 18, 343eqtr3g 2876 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472   ·𝑠 cvsca 16557  SubRingcsubrg 19460   mPwSer cmps 20059   mPoly cmpl 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-subg 18214  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-psr 20064  df-mpl 20066
This theorem is referenced by:  ressply1vsca  20328
  Copyright terms: Public domain W3C validator