MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressms 23063
Description: The restriction of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ressms ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)

Proof of Theorem ressms
StepHypRef Expression
1 msxms 22991 . . 3 (𝐾 ∈ MetSp → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
2 ressxms 23062 . . 3 ((𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
31, 2sylan 580 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp)
4 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5 eqid 2818 . . . . . 6 ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
64, 5msmet 22994 . . . . 5 (𝐾 ∈ MetSp → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
76adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
8 metres 22902 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
97, 8syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
10 resres 5859 . . . . 5 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)))
11 inxp 5696 . . . . . 6 (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴)) = (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))
1211reseq2i 5843 . . . . 5 ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)) ∩ (𝐴 × 𝐴))) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
1310, 12eqtri 2841 . . . 4 (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
14 eqid 2818 . . . . . . 7 (𝐾s 𝐴) = (𝐾s 𝐴)
15 eqid 2818 . . . . . . 7 (dist‘𝐾) = (dist‘𝐾)
1614, 15ressds 16674 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
1716adantl 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (dist‘𝐾) = (dist‘(𝐾s 𝐴)))
18 incom 4175 . . . . . . 7 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
1914, 4ressbas 16542 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2118, 20syl5eq 2865 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘(𝐾s 𝐴)))
2221sqxpeqd 5580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
2317, 22reseq12d 5847 . . . 4 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘𝐾) ↾ (((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) × ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2413, 23syl5eq 2865 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))))
2521fveq2d 6667 . . 3 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (Met‘((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
269, 24, 253eltr3d 2924 . 2 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴))))
27 eqid 2818 . . . 4 (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
2814, 27resstopn 21722 . . 3 ((TopOpen‘𝐾) ↾t 𝐴) = (TopOpen‘(𝐾s 𝐴))
29 eqid 2818 . . 3 (Base‘(𝐾s 𝐴)) = (Base‘(𝐾s 𝐴))
30 eqid 2818 . . 3 ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) = ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴))))
3128, 29, 30isms 22986 . 2 ((𝐾s 𝐴) ∈ MetSp ↔ ((𝐾s 𝐴) ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘(𝐾s 𝐴)) ↾ ((Base‘(𝐾s 𝐴)) × (Base‘(𝐾s 𝐴)))) ∈ (Met‘(Base‘(𝐾s 𝐴)))))
323, 26, 31sylanbrc 583 1 ((𝐾 ∈ MetSp ∧ 𝐴𝑉) → (𝐾s 𝐴) ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932   × cxp 5546  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  distcds 16562  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  Metcmet 20459  ∞MetSpcxms 22854  MetSpcms 22855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-tset 16572  df-ds 16575  df-rest 16684  df-topn 16685  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-xms 22857  df-ms 22858
This theorem is referenced by:  subgngp  23171  cmsss  23881  cmscsscms  23903  cnpwstotbnd  34956
  Copyright terms: Public domain W3C validator