Theorem ressmulr 16053

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		df-mulr 16002	. 2 ⊢ .r = Slot 3
4		3nn 11224	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		1lt3 11234	. 2 ⊢ 1 < 3
6	1, 2, 3, 4, 5	resslem 15980	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  3c3 11109   ↾_s cress 15905  ._rcmulr 15989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-mulr 16002

This theorem is referenced by:  mgpress  18546  subrg1  18838  subrgmcl  18840  subrgdvds  18842  subrguss  18843  subrginv  18844  subrgdv  18845  subrgunit  18846  subrgugrp  18847  issubrg2  18848  subrgpropd  18862  abvres  18887  sralmod  19235  issubassa  19372  resspsrmul  19465  resspsrvsca  19466  mplmul  19491  ressmplmul  19506  mplmulr  19639  ply1mulr  19645  ressply1mul  19649  nn0srg  19864  rge0srg  19865  zringmulr  19875  remulr  20005  dmatcrng  20356  scmatcrng  20375  scmatsrng1  20377  scmatmhm  20388  clmmul  22921  isclmp  22943  cphsubrglem  23023  ipcau2  23079  qabvexp  25360  ostthlem2  25362  padicabv  25364  ostth2lem2  25368  ostth3  25372  ress1r  29917  rdivmuldivd  29919  suborng  29943  xrge0slmod  29972  xrge0iifmhm  30113  qqhrhm  30161  cnfldsrngmul  42096  lidlmmgm  42250  lidlmsgrp  42251  lidlrng  42252  zlidlring  42253  uzlidlring  42254  aacllem  42875