Theorem ressmulr 16619

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		df-mulr 16573	. 2 ⊢ .r = Slot 3
4		3nn 11710	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		1lt3 11804	. 2 ⊢ 1 < 3
6	1, 2, 3, 4, 5	resslem 16551	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  3c3 11687   ↾_s cress 16478  ._rcmulr 16560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-mulr 16573

This theorem is referenced by:  mgpress  19244  subrg1  19539  subrgmcl  19541  subrgdvds  19543  subrguss  19544  subrginv  19545  subrgdv  19546  subrgunit  19547  subrgugrp  19548  issubrg2  19549  subrgpropd  19564  primefld  19578  abvres  19604  sralmod  19953  issubassa3  20091  resspsrmul  20191  resspsrvsca  20192  mplmul  20217  ressmplmul  20233  mplmulr  20383  ply1mulr  20389  ressply1mul  20393  nn0srg  20609  rge0srg  20610  zringmulr  20620  remulr  20749  dmatcrng  21105  scmatcrng  21124  scmatsrng1  21126  scmatmhm  21137  clmmul  23673  isclmp  23695  cphsubrglem  23775  ipcau2  23831  qabvexp  26196  ostthlem2  26198  padicabv  26200  ostth2lem2  26204  ostth3  26208  ress1r  30855  rdivmuldivd  30857  suborng  30883  xrge0slmod  30912  drgextlsp  30991  fedgmullem1  31020  fedgmullem2  31021  extdg1id  31048  xrge0iifmhm  31177  qqhrhm  31225  cnfldsrngmul  44032  lidlmmgm  44190  lidlmsgrp  44191  lidlrng  44192  zlidlring  44193  uzlidlring  44194  aacllem  44896