Theorem ressmulr 15777

Description: ._r is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressmulr.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
ressmulr.2	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ressmulr	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Proof of Theorem ressmulr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressmulr.1	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2		ressmulr.2	. 2 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		df-mulr 15730	. 2 ⊢ .r = Slot 3
4		3nn 11035	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		1lt3 11045	. 2 ⊢ 1 < 3
6	1, 2, 3, 4, 5	resslem 15708	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → · = (.r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  ‘cfv 5789  (class class class)co 6526  3c3 10920   ↾_s cress 15644  ._rcmulr 15717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-ress 15650  df-mulr 15730

This theorem is referenced by:  mgpress  18271  subrg1  18561  subrgmcl  18563  subrgdvds  18565  subrguss  18566  subrginv  18567  subrgdv  18568  subrgunit  18569  subrgugrp  18570  issubrg2  18571  subrgpropd  18585  abvres  18610  sralmod  18956  issubassa  19093  resspsrmul  19186  resspsrvsca  19187  mplmul  19212  ressmplmul  19227  mplmulr  19360  ply1mulr  19366  ressply1mul  19370  nn0srg  19583  rge0srg  19584  zringmulr  19594  remulr  19723  dmatcrng  20074  scmatcrng  20093  scmatsrng1  20095  scmatmhm  20106  clmmul  22630  isclmp  22652  cphsubrglem  22729  ipcau2  22785  qabvexp  25059  ostthlem2  25061  padicabv  25063  ostth2lem2  25067  ostth3  25071  ress1r  28913  rdivmuldivd  28915  suborng  28939  xrge0slmod  28968  xrge0iifmhm  29106  qqhrhm  29154  cnfldsrngmul  41542  lidlmmgm  41696  lidlmsgrp  41697  lidlrng  41698  zlidlring  41699  uzlidlring  41700  aacllem  42298