MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressplusg 16600
Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusg.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressplusg.2 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressplusg (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))

Proof of Theorem ressplusg
StepHypRef Expression
1 ressplusg.1 . 2 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressplusg.2 . 2 + = (+g𝐺)
3 df-plusg 16566 . 2 +g = Slot 2
4 2nn 11698 . 2 2 ∈ ℕ
5 1lt2 11796 . 2 1 < 2
61, 2, 3, 4, 5resslem 16545 1 (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  2c2 11680  s cress 16472  +gcplusg 16553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566
This theorem is referenced by:  issstrmgm  17851  gsumress  17880  issubmnd  17926  ress0g  17927  submnd0  17928  resmhm  17973  resmhm2  17974  resmhm2b  17975  submmulg  18209  subg0  18223  subginv  18224  subgcl  18227  subgsub  18229  subgmulg  18231  issubg2  18232  nmznsg  18258  resghm  18312  subgga  18368  gasubg  18370  resscntz  18400  sylow2blem2  18675  sylow3lem6  18686  subglsm  18728  pj1ghm  18758  subgabl  18885  subcmn  18886  submcmn2  18888  cntrcmnd  18891  cycsubmcmn  18937  ringidss  19256  opprsubg  19315  unitgrp  19346  unitlinv  19356  unitrinv  19357  invrpropd  19377  isdrng2  19441  drngmcl  19444  drngid2  19447  isdrngd  19456  subrgugrp  19483  issubrg2  19484  subrgpropd  19499  cntzsdrg  19510  abvres  19539  islss3  19660  sralmod  19888  resspsradd  20124  mpladd  20150  ressmpladd  20166  mplplusg  20316  ply1plusg  20321  ressply1add  20326  xrs1mnd  20511  xrs10  20512  xrs1cmn  20513  xrge0subm  20514  cnmsubglem  20536  expmhm  20542  nn0srg  20543  rge0srg  20544  zringplusg  20552  expghm  20571  psgnghm  20652  psgnco  20655  evpmodpmf1o  20668  replusg  20682  phlssphl  20731  frlmplusgval  20836  mdetralt  21145  invrvald  21213  submtmd  22640  imasdsf1olem  22910  xrge0gsumle  23368  clmadd  23605  isclmp  23628  ipcau2  23764  reefgim  24965  efabl  25061  efsubm  25062  dchrptlem2  25768  dchrsum2  25771  qabvle  26128  padicabv  26133  ostth2lem2  26137  ostth3  26141  ressplusf  30564  ressmulgnn  30597  xrge0plusg  30601  submomnd  30638  ringinvval  30790  dvrcan5  30791  rhmunitinv  30822  xrge0slmod  30844  drgextlsp  30895  fedgmullem2  30925  qqhghm  31128  qqhrhm  31129  esumpfinvallem  31232  lcdvadd  38613  deg1mhm  39685  sge0tsms  42539  cnfldsrngadd  43914  issubmgm2  43934  resmgmhm  43942  resmgmhm2  43943  resmgmhm2b  43944  smndex1mgm  44007  smndex1sgrp  44008  smndex1mnd  44010  smndex1id  44011  lidlrng  44126  amgmlemALT  44832
  Copyright terms: Public domain W3C validator