MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressplusg 15761
Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusg.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressplusg.2 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressplusg (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))

Proof of Theorem ressplusg
StepHypRef Expression
1 ressplusg.1 . 2 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressplusg.2 . 2 + = (+g𝐺)
3 df-plusg 15724 . 2 +g = Slot 2
4 2nn 11029 . 2 2 ∈ ℕ
5 1lt2 11038 . 2 1 < 2
61, 2, 3, 4, 5resslem 15703 1 (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  2c2 10914  s cress 15639  +gcplusg 15711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-ress 15645  df-plusg 15724
This theorem is referenced by:  issstrmgm  17018  gsumress  17042  issubmnd  17084  ress0g  17085  submnd0  17086  resmhm  17125  resmhm2  17126  resmhm2b  17127  submmulg  17352  subg0  17366  subginv  17367  subgcl  17370  subgsub  17372  subgmulg  17374  issubg2  17375  nmznsg  17404  resghm  17442  subgga  17499  gasubg  17501  resscntz  17530  sylow2blem2  17802  sylow3lem6  17813  subglsm  17852  pj1ghm  17882  subgabl  18007  subcmn  18008  submcmn2  18010  ringidss  18343  opprsubg  18402  unitgrp  18433  unitlinv  18443  unitrinv  18444  invrpropd  18464  isdrng2  18523  drngmcl  18526  drngid2  18529  isdrngd  18538  subrgugrp  18565  issubrg2  18566  subrgpropd  18580  abvres  18605  islss3  18723  sralmod  18951  resspsradd  19180  mpladd  19206  ressmpladd  19221  mplplusg  19354  ply1plusg  19359  ressply1add  19364  xrs1mnd  19546  xrs10  19547  xrs1cmn  19548  xrge0subm  19549  cnmsubglem  19571  expmhm  19577  nn0srg  19578  rge0srg  19579  zringplusg  19587  expghm  19605  psgnghm  19687  psgnco  19690  evpmodpmf1o  19703  replusg  19717  frlmplusgval  19865  mdetralt  20172  invrvald  20240  submtmd  21657  imasdsf1olem  21926  xrge0gsumle  22373  clmadd  22610  isclmp  22633  ipcau2  22759  reefgim  23922  efabl  24014  efsubm  24015  dchrptlem2  24704  dchrsum2  24707  qabvle  25028  padicabv  25033  ostth2lem2  25037  ostth3  25041  ressplusf  28784  ressmulgnn  28817  xrge0plusg  28821  submomnd  28844  ringinvval  28926  dvrcan5  28927  rhmunitinv  28956  xrge0slmod  28978  qqhghm  29163  qqhrhm  29164  esumpfinvallem  29266  lcdvadd  35704  cntzsdrg  36591  deg1mhm  36604  sge0tsms  39074  cnfldsrngadd  41559  issubmgm2  41579  resmgmhm  41587  resmgmhm2  41588  resmgmhm2b  41589  lidlrng  41716  amgmlemALT  42318
  Copyright terms: Public domain W3C validator