MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressplusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressplusg 15974
Description: +g is unaffected by restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ressplusg.1 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
ressplusg.2 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
ressplusg (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))

Proof of Theorem ressplusg
StepHypRef Expression
1 ressplusg.1 . 2 𝐻 = (𝐺s 𝐴)
2 ressplusg.2 . 2 + = (+g𝐺)
3 df-plusg 15935 . 2 +g = Slot 2
4 2nn 11170 . 2 2 ∈ ℕ
5 1lt2 11179 . 2 1 < 2
61, 2, 3, 4, 5resslem 15914 1 (𝐴𝑉+ = (+g𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  2c2 11055  s cress 15839  +gcplusg 15922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935
This theorem is referenced by:  issstrmgm  17233  gsumress  17257  issubmnd  17299  ress0g  17300  submnd0  17301  resmhm  17340  resmhm2  17341  resmhm2b  17342  submmulg  17567  subg0  17581  subginv  17582  subgcl  17585  subgsub  17587  subgmulg  17589  issubg2  17590  nmznsg  17619  resghm  17657  subgga  17714  gasubg  17716  resscntz  17745  sylow2blem2  18017  sylow3lem6  18028  subglsm  18067  pj1ghm  18097  subgabl  18222  subcmn  18223  submcmn2  18225  ringidss  18558  opprsubg  18617  unitgrp  18648  unitlinv  18658  unitrinv  18659  invrpropd  18679  isdrng2  18738  drngmcl  18741  drngid2  18744  isdrngd  18753  subrgugrp  18780  issubrg2  18781  subrgpropd  18795  abvres  18820  islss3  18940  sralmod  19168  resspsradd  19397  mpladd  19423  ressmpladd  19438  mplplusg  19571  ply1plusg  19576  ressply1add  19581  xrs1mnd  19765  xrs10  19766  xrs1cmn  19767  xrge0subm  19768  cnmsubglem  19790  expmhm  19796  nn0srg  19797  rge0srg  19798  zringplusg  19806  expghm  19825  psgnghm  19907  psgnco  19910  evpmodpmf1o  19923  replusg  19937  frlmplusgval  20088  mdetralt  20395  invrvald  20463  submtmd  21889  imasdsf1olem  22159  xrge0gsumle  22617  clmadd  22855  isclmp  22878  ipcau2  23014  reefgim  24185  efabl  24277  efsubm  24278  dchrptlem2  24971  dchrsum2  24974  qabvle  25295  padicabv  25300  ostth2lem2  25304  ostth3  25308  ressplusf  29624  ressmulgnn  29657  xrge0plusg  29661  submomnd  29684  ringinvval  29766  dvrcan5  29767  rhmunitinv  29796  xrge0slmod  29818  qqhghm  30006  qqhrhm  30007  esumpfinvallem  30110  lcdvadd  36705  cntzsdrg  37591  deg1mhm  37604  sge0tsms  40360  cnfldsrngadd  41535  issubmgm2  41555  resmgmhm  41563  resmgmhm2  41564  resmgmhm2b  41565  lidlrng  41692  amgmlemALT  42314
  Copyright terms: Public domain W3C validator