MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1add Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1add 19822
Description: A restricted polynomial algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
ressply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
ressply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressply1add ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1add
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2 ressply1.h . . 3 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 eqid 2760 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
4 ressply1.u . . . 4 𝑈 = (Poly1𝐻)
5 eqid 2760 . . . 4 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
6 ressply1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
74, 5, 6ply1bas 19787 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
8 1on 7737 . . . 4 1𝑜 ∈ On
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
10 ressply1.2 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11 eqid 2760 . . 3 ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmpladd 19679 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋(+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
144, 3, 13ply1plusg 19817 . . 3 (+g𝑈) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
1514oveqi 6827 . 2 (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌)
16 ressply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
17 eqid 2760 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
1816, 1, 17ply1plusg 19817 . . . 4 (+g𝑆) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19 fvex 6363 . . . . . 6 (Base‘𝑈) ∈ V
206, 19eqeltri 2835 . . . . 5 𝐵 ∈ V
21 ressply1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
2221, 17ressplusg 16215 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (+g𝑆) = (+g𝑃))
2320, 22ax-mp 5 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑃)
24 eqid 2760 . . . . . 6 (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
2511, 24ressplusg 16215 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
2620, 25ax-mp 5 . . . 4 (+g‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = (+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2718, 23, 263eqtr3i 2790 . . 3 (+g𝑃) = (+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2827oveqi 6827 . 2 (𝑋(+g𝑃)𝑌) = (𝑋(+g‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
2912, 15, 283eqtr4g 2819 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  Oncon0 5884  cfv 6049  (class class class)co 6814  1𝑜c1o 7723  Basecbs 16079  s cress 16080  +gcplusg 16163  SubRingcsubrg 18998   mPoly cmpl 19575  PwSer1cps1 19767  Poly1cpl1 19769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-tset 16182  df-ple 16183  df-subg 17812  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-psr 19578  df-mpl 19580  df-opsr 19582  df-psr1 19772  df-ply1 19774
This theorem is referenced by:  gsumply1subr  19826
  Copyright terms: Public domain W3C validator