Theorem ressply1bas2 20390

Description: The base set of a restricted polynomial algebra consists of power series in the subring which are also polynomials (in the parent ring). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressply1.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
ressply1.h	⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
ressply1.u	⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
ressply1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1bas2.w	⊢ 𝑊 = (PwSer1‘𝐻)
ressply1bas2.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
ressply1bas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
ressply1bas2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Proof of Theorem ressply1bas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2821	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝑅) = (1o mPoly 𝑅)
2		ressply1.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝑅 ↾s 𝑇)
3		eqid 2821	. 2 ⊢ (1o mPoly 𝐻) = (1o mPoly 𝐻)
4		ressply1.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Poly1‘𝐻)
5		ressply1bas2.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (PwSer1‘𝐻)
6		ressply1.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑈)
7	4, 5, 6	ply1bas 20357	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(1o mPoly 𝐻))
8		1on 8103	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1o ∈ On)
10		ressply1.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		eqid 2821	. 2 ⊢ (1o mPwSer 𝐻) = (1o mPwSer 𝐻)
12		ressply1bas2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
13	5, 12, 11	psr1bas2 20352	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘(1o mPwSer 𝐻))
14		ressply1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑅)
15		eqid 2821	. . 3 ⊢ (PwSer1‘𝑅) = (PwSer1‘𝑅)
16		ressply1bas2.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
17	14, 15, 16	ply1bas 20357	. 2 ⊢ 𝐾 = (Base‘(1o mPoly 𝑅))
18	1, 2, 3, 7, 9, 10, 11, 13, 17	ressmplbas2 20230	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 ∩ 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3934  Oncon0 6185  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  1_oc1o 8089  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  SubRingcsubrg 19525   mPwSer cmps 20125   mPoly cmpl 20127  PwSer₁cps1 20337  Poly₁cpl1 20339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-hash 13685  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-tset 16578  df-ple 16579  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-subrg 19527  df-psr 20130  df-mpl 20132  df-opsr 20134  df-psr1 20342  df-ply1 20344

This theorem is referenced by:  ressply1bas  20391