Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressply1vsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressply1vsca 19583
 Description: A restricted power series algebra has the same scalar multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ressply1.s 𝑆 = (Poly1𝑅)
ressply1.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
ressply1.u 𝑈 = (Poly1𝐻)
ressply1.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
ressply1.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
ressply1.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
Assertion
Ref Expression
ressply1vsca ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))

Proof of Theorem ressply1vsca
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝑅) = (1𝑜 mPoly 𝑅)
2 ressply1.h . . 3 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
3 eqid 2620 . . 3 (1𝑜 mPoly 𝐻) = (1𝑜 mPoly 𝐻)
4 ressply1.u . . . 4 𝑈 = (Poly1𝐻)
5 eqid 2620 . . . 4 (PwSer1𝐻) = (PwSer1𝐻)
6 ressply1.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑈)
74, 5, 6ply1bas 19546 . . 3 𝐵 = (Base‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
8 1on 7552 . . . 4 1𝑜 ∈ On
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1𝑜 ∈ On)
10 ressply1.2 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
11 eqid 2620 . . 3 ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵) = ((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)
121, 2, 3, 7, 9, 10, 11ressmplvsca 19440 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌))
13 eqid 2620 . . . 4 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠𝑈)
144, 3, 13ply1vsca 19577 . . 3 ( ·𝑠𝑈) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝐻))
1514oveqi 6648 . 2 (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝐻))𝑌)
16 ressply1.s . . . . 5 𝑆 = (Poly1𝑅)
17 eqid 2620 . . . . 5 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑆)
1816, 1, 17ply1vsca 19577 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
19 fvex 6188 . . . . . 6 (Base‘𝑈) ∈ V
206, 19eqeltri 2695 . . . . 5 𝐵 ∈ V
21 ressply1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
2221, 17ressvsca 16013 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃))
2320, 22ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠𝑆) = ( ·𝑠𝑃)
24 eqid 2620 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅))
2511, 24ressvsca 16013 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵)))
2620, 25ax-mp 5 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(1𝑜 mPoly 𝑅)) = ( ·𝑠 ‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2718, 23, 263eqtr3i 2650 . . 3 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠 ‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))
2827oveqi 6648 . 2 (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌) = (𝑋( ·𝑠 ‘((1𝑜 mPoly 𝑅) ↾s 𝐵))𝑌)
2912, 15, 283eqtr4g 2679 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑇𝑌𝐵)) → (𝑋( ·𝑠𝑈)𝑌) = (𝑋( ·𝑠𝑃)𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195  Oncon0 5711  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538  Basecbs 15838   ↾s cress 15839   ·𝑠 cvsca 15926  SubRingcsubrg 18757   mPoly cmpl 19334  PwSer1cps1 19526  Poly1cpl1 19528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-fz 12312  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-tset 15941  df-ple 15942  df-subg 17572  df-ring 18530  df-subrg 18759  df-psr 19337  df-mpl 19339  df-opsr 19341  df-psr1 19531  df-ply1 19533 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator