MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsradd 20124
Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsradd ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 resspsr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2818 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
4 eqid 2818 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5 simprl 767 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
6 simprr 769 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 20090 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋f (+g𝐻)𝑌))
8 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10 eqid 2818 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 eqid 2818 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
12 fvex 6676 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
13 resspsr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
1514subrgbas 19473 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
17 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1817subrgss 19465 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
1913, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
2016, 19eqsstrrd 4003 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21 mapss 8441 . . . . . . . 8 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2212, 20, 21sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25 eqid 2818 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26 reldmpsr 20069 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
2726, 1, 2elbasov 16533 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2827ad2antrl 724 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2928simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
301, 24, 25, 2, 29psrbas 20086 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
318, 17, 25, 9, 29psrbas 20086 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑m {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
3223, 30, 313sstr4d 4011 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3332, 5sseldd 3965 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
3432, 6sseldd 3965 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
358, 9, 10, 11, 33, 34psradd 20090 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
3614, 10ressplusg 16600 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝐻))
3713, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝐻))
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (+g𝑅) = (+g𝐻))
39 ofeq 7400 . . . . 5 ((+g𝑅) = (+g𝐻) → ∘f (+g𝑅) = ∘f (+g𝐻))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ∘f (+g𝑅) = ∘f (+g𝐻))
4140oveqd 7162 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋f (+g𝑅)𝑌) = (𝑋f (+g𝐻)𝑌))
4235, 41eqtrd 2853 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋f (+g𝐻)𝑌))
432fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
44 resspsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
4544, 11ressplusg 16600 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑆) = (+g𝑃))
4643, 45mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (+g𝑆) = (+g𝑃))
4746oveqd 7162 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
487, 42, 473eqtr2d 2859 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  ccnv 5547  cima 5551  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  m cmap 8395  Fincfn 8497  cn 11626  0cn0 11885  Basecbs 16471  s cress 16472  +gcplusg 16553  SubRingcsubrg 19460   mPwSer cmps 20059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-subg 18214  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-psr 20064
This theorem is referenced by:  subrgpsr  20127  ressmpladd  20166
  Copyright terms: Public domain W3C validator