MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsradd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsradd 19618
Description: A restricted power series algebra has the same addition operation. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsradd ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))

Proof of Theorem resspsradd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspsr.u . . 3 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
2 resspsr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑈)
3 eqid 2760 . . 3 (+g𝐻) = (+g𝐻)
4 eqid 2760 . . 3 (+g𝑈) = (+g𝑈)
5 simprl 811 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
6 simprr 813 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6psradd 19584 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝐻)𝑌))
8 resspsr.s . . . 4 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
9 eqid 2760 . . . 4 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
10 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 eqid 2760 . . . 4 (+g𝑆) = (+g𝑆)
12 fvex 6362 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
13 resspsr.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
14 resspsr.h . . . . . . . . . . 11 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
1514subrgbas 18991 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
17 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1817subrgss 18983 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
1913, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
2016, 19eqsstr3d 3781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
21 mapss 8066 . . . . . . . 8 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2212, 20, 21sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2322adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
24 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
25 eqid 2760 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
26 reldmpsr 19563 . . . . . . . . . 10 Rel dom mPwSer
2726, 1, 2elbasov 16123 . . . . . . . . 9 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2827ad2antrl 766 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V))
2928simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐼 ∈ V)
301, 24, 25, 2, 29psrbas 19580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
318, 17, 25, 9, 29psrbas 19580 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
3223, 30, 313sstr4d 3789 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3332, 5sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑆))
3432, 6sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑆))
358, 9, 10, 11, 33, 34psradd 19584 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌))
3614, 10ressplusg 16195 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → (+g𝑅) = (+g𝐻))
3713, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝐻))
3837adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (+g𝑅) = (+g𝐻))
39 ofeq 7064 . . . . 5 ((+g𝑅) = (+g𝐻) → ∘𝑓 (+g𝑅) = ∘𝑓 (+g𝐻))
4038, 39syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ∘𝑓 (+g𝑅) = ∘𝑓 (+g𝐻))
4140oveqd 6830 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋𝑓 (+g𝑅)𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝐻)𝑌))
4235, 41eqtrd 2794 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋𝑓 (+g𝐻)𝑌))
43 fvex 6362 . . . . 5 (Base‘𝑈) ∈ V
442, 43eqeltri 2835 . . . 4 𝐵 ∈ V
45 resspsr.p . . . . 5 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
4645, 11ressplusg 16195 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (+g𝑆) = (+g𝑃))
4744, 46mp1i 13 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (+g𝑆) = (+g𝑃))
4847oveqd 6830 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑆)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
497, 42, 483eqtr2d 2800 1 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋(+g𝑈)𝑌) = (𝑋(+g𝑃)𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715  ccnv 5265  cima 5269  cfv 6049  (class class class)co 6813  𝑓 cof 7060  𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  cn 11212  0cn0 11484  Basecbs 16059  s cress 16060  +gcplusg 16143  SubRingcsubrg 18978   mPwSer cmps 19553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-tset 16162  df-subg 17792  df-ring 18749  df-subrg 18980  df-psr 19558
This theorem is referenced by:  subrgpsr  19621  ressmpladd  19659
  Copyright terms: Public domain W3C validator