MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspsrbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspsrbas 19182
Description: A restricted power series algebra has the same base set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspsr.s 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
resspsr.h 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
resspsr.u 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
resspsr.b 𝐵 = (Base‘𝑈)
resspsr.p 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
resspsr.2 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
resspsrbas (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))

Proof of Theorem resspsrbas
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6098 . . . . 5 (Base‘𝑅) ∈ V
2 resspsr.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅))
3 resspsr.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑅s 𝑇)
43subrgbas 18558 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 = (Base‘𝐻))
52, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 = (Base‘𝐻))
6 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
76subrgss 18550 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
82, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ⊆ (Base‘𝑅))
95, 8eqsstr3d 3602 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
109adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅))
11 mapss 7763 . . . . 5 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (Base‘𝐻) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
121, 10, 11sylancr 693 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) ⊆ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
13 resspsr.u . . . . 5 𝑈 = (𝐼 mPwSer 𝐻)
14 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
15 eqid 2609 . . . . 5 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
16 resspsr.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑈)
17 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐼 ∈ V)
1813, 14, 15, 16, 17psrbas 19145 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ((Base‘𝐻) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
19 resspsr.s . . . . 5 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
20 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
2119, 6, 15, 20, 17psrbas 19145 . . . 4 ((𝜑𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑆) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}))
2212, 18, 213sstr4d 3610 . . 3 ((𝜑𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
23 reldmpsr 19128 . . . . . . . . 9 Rel dom mPwSer
2423ovprc1 6560 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V → (𝐼 mPwSer 𝐻) = ∅)
2513, 24syl5eq 2655 . . . . . . 7 𝐼 ∈ V → 𝑈 = ∅)
2625adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝑈 = ∅)
2726fveq2d 6092 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → (Base‘𝑈) = (Base‘∅))
28 base0 15686 . . . . 5 ∅ = (Base‘∅)
2927, 16, 283eqtr4g 2668 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 = ∅)
30 0ss 3923 . . . 4 ∅ ⊆ (Base‘𝑆)
3129, 30syl6eqss 3617 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐼 ∈ V) → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
3222, 31pm2.61dan 827 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (Base‘𝑆))
33 resspsr.p . . 3 𝑃 = (𝑆s 𝐵)
3433, 20ressbas2 15704 . 2 (𝐵 ⊆ (Base‘𝑆) → 𝐵 = (Base‘𝑃))
3532, 34syl 17 1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  {crab 2899  Vcvv 3172  wss 3539  c0 3873  ccnv 5027  cima 5031  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  Fincfn 7818  cn 10867  0cn0 11139  Basecbs 15641  s cress 15642  SubRingcsubrg 18545   mPwSer cmps 19118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-tset 15733  df-subg 17360  df-ring 18318  df-subrg 18547  df-psr 19123
This theorem is referenced by:  resspsrvsca  19185  subrgpsr  19186
  Copyright terms: Public domain W3C validator