Theorem resstopn 21796

Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resstopn.1	⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
resstopn.2	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
resstopn	⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6685	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝐾) ∈ V
2		fvex 6685	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) ∈ V
3		restco 21774	. . . . 5 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
4	1, 2, 3	mp3an12 1447	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5		resstopn.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐾 ↾s 𝐴)
6		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
7	5, 6	resstset 16667	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8		incom 4180	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	5, 9	ressbas 16556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
11	8, 10	syl5eq 2870	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
12	7, 11	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
13	4, 12	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
14	9, 6	topnval 16710	. . . . 5 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15		resstopn.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
16	14, 15	eqtr4i 2849	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
17	16	oveq1i 7168	. . 3 ⊢ (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽 ↾t 𝐴)
18		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
20	18, 19	topnval 16710	. . 3 ⊢ ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
21	13, 17, 20	3eqtr3g 2881	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
23	22	con3i 157	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
24		restfn 16700	. . . . . 6 ⊢ ↾t Fn (V × V)
25		fndm 6457	. . . . . 6 ⊢ ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom ↾t = (V × V)
27	26	ndmov 7334	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
28	23, 27	syl 17	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
29		reldmress 16552	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel dom ↾s
30	29	ovprc2 7198	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐾 ↾s 𝐴) = ∅)
31	5, 30	syl5eq 2870	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
32	31	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
33		df-tset 16586	. . . . . . 7 ⊢ TopSet = Slot 9
34	33	str0 16537	. . . . . 6 ⊢ ∅ = (TopSet‘∅)
35	32, 34	syl6eqr 2876	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
36	35	oveq1d 7173	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
37		0rest 16705	. . . 4 ⊢ (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
38	36, 20, 37	3eqtr3g 2881	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
39	28, 38	eqtr4d 2861	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
40	21, 39	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐽 ↾t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∩ cin 3937  ∅c0 4293   × cxp 5555  dom cdm 5557   Fn wfn 6352  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  9c9 11702  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  TopSetcts 16573   ↾_t crest 16696  TopOpenctopn 16697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-tset 16586  df-rest 16698  df-topn 16699

This theorem is referenced by:  resstps  21797  submtmd  22714  subgtgp  22715  tsmssubm  22753  invrcn2  22790  ressusp  22876  ressxms  23137  ressms  23138  nrgtdrg  23304  tgioo3  23415  dfii4  23494  retopn  23984  xrge0topn  31188  lmxrge0  31197  qqtopn  31254