MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resstopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resstopn 20913
Description: The topology of a restricted structure. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resstopn.1 𝐻 = (𝐾s 𝐴)
resstopn.2 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
resstopn (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)

Proof of Theorem resstopn
StepHypRef Expression
1 fvex 6163 . . . . 5 (TopSet‘𝐾) ∈ V
2 fvex 6163 . . . . 5 (Base‘𝐾) ∈ V
3 restco 20891 . . . . 5 (((TopSet‘𝐾) ∈ V ∧ (Base‘𝐾) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
41, 2, 3mp3an12 1411 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)))
5 resstopn.1 . . . . . 6 𝐻 = (𝐾s 𝐴)
6 eqid 2621 . . . . . 6 (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐾)
75, 6resstset 15978 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐾) = (TopSet‘𝐻))
8 incom 3788 . . . . . 6 ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (𝐴 ∩ (Base‘𝐾))
9 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
105, 9ressbas 15862 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (Base‘𝐾)) = (Base‘𝐻))
118, 10syl5eq 2667 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴) = (Base‘𝐻))
127, 11oveq12d 6628 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐾) ↾t ((Base‘𝐾) ∩ 𝐴)) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
134, 12eqtrd 2655 . . 3 (𝐴 ∈ V → (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)))
149, 6topnval 16027 . . . . 5 ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = (TopOpen‘𝐾)
15 resstopn.2 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐾)
1614, 15eqtr4i 2646 . . . 4 ((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) = 𝐽
1716oveq1i 6620 . . 3 (((TopSet‘𝐾) ↾t (Base‘𝐾)) ↾t 𝐴) = (𝐽t 𝐴)
18 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
19 eqid 2621 . . . 4 (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘𝐻)
2018, 19topnval 16027 . . 3 ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (TopOpen‘𝐻)
2113, 17, 203eqtr3g 2678 . 2 (𝐴 ∈ V → (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
22 simpr 477 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2322con3i 150 . . . 4 𝐴 ∈ V → ¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
24 restfn 16017 . . . . . 6 t Fn (V × V)
25 fndm 5953 . . . . . 6 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 dom ↾t = (V × V)
2726ndmov 6778 . . . 4 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
2823, 27syl 17 . . 3 𝐴 ∈ V → (𝐽t 𝐴) = ∅)
29 reldmress 15858 . . . . . . . . 9 Rel dom ↾s
3029ovprc2 6645 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ V → (𝐾s 𝐴) = ∅)
315, 30syl5eq 2667 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → 𝐻 = ∅)
3231fveq2d 6157 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = (TopSet‘∅))
33 df-tset 15892 . . . . . . 7 TopSet = Slot 9
3433str0 15843 . . . . . 6 ∅ = (TopSet‘∅)
3532, 34syl6eqr 2673 . . . . 5 𝐴 ∈ V → (TopSet‘𝐻) = ∅)
3635oveq1d 6625 . . . 4 𝐴 ∈ V → ((TopSet‘𝐻) ↾t (Base‘𝐻)) = (∅ ↾t (Base‘𝐻)))
37 0rest 16022 . . . 4 (∅ ↾t (Base‘𝐻)) = ∅
3836, 20, 373eqtr3g 2678 . . 3 𝐴 ∈ V → (TopOpen‘𝐻) = ∅)
3928, 38eqtr4d 2658 . 2 𝐴 ∈ V → (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻))
4021, 39pm2.61i 176 1 (𝐽t 𝐴) = (TopOpen‘𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cin 3558  c0 3896   × cxp 5077  dom cdm 5079   Fn wfn 5847  cfv 5852  (class class class)co 6610  9c9 11029  Basecbs 15792  s cress 15793  TopSetcts 15879  t crest 16013  TopOpenctopn 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-tset 15892  df-rest 16015  df-topn 16016
This theorem is referenced by:  resstps  20914  submtmd  21831  subgtgp  21832  tsmssubm  21869  invrcn2  21906  ressusp  21992  ressxms  22253  ressms  22254  nrgtdrg  22420  tgioo3  22531  dfii4  22610  retopn  23090  xrge0topn  29795  lmxrge0  29804  qqtopn  29861
  Copyright terms: Public domain W3C validator