MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ressuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ressuppss 7259
Description: The support of the restriction of a function is a subset of the support of the function itself. (Contributed by AV, 22-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ressuppss ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))

Proof of Theorem ressuppss
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3774 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) ↔ (𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹))
21simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
3 dmres 5378 . . . . . . . 8 dom (𝐹𝐵) = (𝐵 ∩ dom 𝐹)
42, 3eleq2s 2716 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
54ad2antrl 763 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → 𝑏 ∈ dom 𝐹)
6 snssi 4308 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → {𝑏} ⊆ 𝐵)
7 resima2 5391 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑏} ⊆ 𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑏𝐵 → ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) = (𝐹 “ {𝑏}))
98neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} ↔ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
109biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍} → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1110adantld 483 . . . . . . . 8 (𝑏𝐵 → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1211adantld 483 . . . . . . 7 (𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
13 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏𝐵 → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏𝐵𝑏 ∈ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
151, 14sylbi 207 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (𝐵 ∩ dom 𝐹) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1615, 3eleq2s 2716 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1716ad2antrl 763 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (¬ 𝑏𝐵 → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1817com12 32 . . . . . . 7 𝑏𝐵 → (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
1912, 18pm2.61i 176 . . . . . 6 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})
205, 19jca 554 . . . . 5 (((𝐹𝑉𝑍𝑊) ∧ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}))
2120ex 450 . . . 4 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}) → (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})))
2221ss2abdv 3654 . . 3 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})} ⊆ {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})})
23 df-rab 2916 . . 3 {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∧ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
24 df-rab 2916 . . 3 {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} = {𝑏 ∣ (𝑏 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍})}
2522, 23, 243sstr4g 3625 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}} ⊆ {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
26 resexg 5401 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐵) ∈ V)
27 suppval 7242 . . 3 (((𝐹𝐵) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
2826, 27sylan 488 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom (𝐹𝐵) ∣ ((𝐹𝐵) “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
29 suppval 7242 . 2 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑏 ∈ dom 𝐹 ∣ (𝐹 “ {𝑏}) ≠ {𝑍}})
3025, 28, 293sstr4d 3627 1 ((𝐹𝑉𝑍𝑊) → ((𝐹𝐵) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wne 2790  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  {csn 4148  dom cdm 5074  cres 5076  cima 5077  (class class class)co 6604   supp csupp 7240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-supp 7241
This theorem is referenced by:  fsuppres  8244  gsumzres  18231  gsumzadd  18243  gsum2dlem2  18291  tsmsres  21857
  Copyright terms: Public domain W3C validator