MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restdis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restdis 20963
Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restdis ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 20780 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
3 elpw2g 4818 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
43biimpar 502 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
5 restopn2 20962 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
62, 4, 5syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
7 selpw 4156 . . . 4 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵)
8 sstr 3603 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐵𝐵𝐴) → 𝑥𝐴)
98expcom 451 . . . . . . 7 (𝐵𝐴 → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
109adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥𝐴))
11 selpw 4156 . . . . . 6 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
1210, 11syl6ibr 242 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
1312pm4.71rd 666 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
147, 13syl5bb 272 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐵)))
156, 14bitr4d 271 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
1615eqrdv 2618 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝐵) = 𝒫 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567  𝒫 cpw 4149  (class class class)co 6635  t crest 16062  Topctop 20679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731
This theorem is referenced by:  dislly  21281  xkopt  21439
  Copyright terms: Public domain W3C validator