Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restfpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restfpw 20964
 Description: The restriction of the set of finite subsets of 𝐴 is the set of finite subsets of 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
restfpw ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))

Proof of Theorem restfpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwexg 4841 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ V)
3 inex1g 4792 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
42, 3syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
5 ssexg 4795 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → 𝐵 ∈ V)
65ancoms 469 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ V)
7 restval 16068 . . . 4 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
84, 6, 7syl2anc 692 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)))
9 inss2 3826 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵
109a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ⊆ 𝐵)
11 elfpw 8253 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ Fin))
1211simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
14 inss1 3825 . . . . . . 7 (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥
15 ssfi 8165 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ Fin ∧ (𝑥𝐵) ⊆ 𝑥) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
1613, 14, 15sylancl 693 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ Fin)
17 elfpw 8253 . . . . . 6 ((𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ ((𝑥𝐵) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑥𝐵) ∈ Fin))
1810, 16, 17sylanbrc 697 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
19 eqid 2620 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵))
2018, 19fmptd 6371 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin))
21 frn 6040 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)):(𝒫 𝐴 ∩ Fin)⟶(𝒫 𝐵 ∩ Fin) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↦ (𝑥𝐵)) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
238, 22eqsstrd 3631 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) ⊆ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
24 elfpw 8253 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥𝐵𝑥 ∈ Fin))
2524simplbi 476 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥𝐵)
2625adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐵)
27 df-ss 3581 . . . . . 6 (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 𝑥)
2826, 27sylib 208 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) = 𝑥)
294adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V)
306adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵 ∈ V)
31 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝐵𝐴)
3226, 31sstrd 3605 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥𝐴)
3324simprbi 480 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
3433adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ Fin)
3532, 34, 11sylanbrc 697 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
36 elrestr 16070 . . . . . 6 (((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3729, 30, 35, 36syl3anc 1324 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → (𝑥𝐵) ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3828, 37eqeltrrd 2700 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
3938ex 450 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵)))
4039ssrdv 3601 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ⊆ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵))
4123, 40eqssd 3612 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴) → ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ↾t 𝐵) = (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  Vcvv 3195   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567  𝒫 cpw 4149   ↦ cmpt 4720  ran crn 5105  ⟶wf 5872  (class class class)co 6635  Fincfn 7940   ↾t crest 16062 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-rest 16064 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator