Theorem restid 16288

Description: The subspace topology of the base set is the original topology. (Contributed by Jeff Hankins, 9-Jul-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restid.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
restid	⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Proof of Theorem restid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restid.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		uniexg 7112	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐽 ∈ V)
3	1, 2	syl5eqel 2835	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ V)
4	1	eqimss2i 3793	. . 3 ⊢ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋
5		sspwuni 4755	. . 3 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ 𝐽 ⊆ 𝑋)
6	4, 5	mpbir 221	. 2 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋
7		restid2 16285	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)
8	3, 6, 7	sylancl 697	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑉 → (𝐽 ↾t 𝑋) = 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1624   ∈ wcel 2131  Vcvv 3332   ⊆ wss 3707  𝒫 cpw 4294  ∪ cuni 4580  (class class class)co 6805   ↾_t crest 16275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-rest 16277

This theorem is referenced by:  restin  21164  cnrmnrm  21359  cmpkgen  21548  xkopt  21652  xkoinjcn  21684  ussid  22257  tuslem  22264  cnperf  22816  retopconn  22825  cncfcn1  22906  cncfmpt2f  22910  cdivcncf  22913  abscncfALT  22916  cnmpt2pc  22920  cnrehmeo  22945  cnlimc  23843  recnperf  23860  dvidlem  23870  dvcnp2  23874  dvcn  23875  dvnres  23885  dvaddbr  23892  dvmulbr  23893  dvcobr  23900  dvcjbr  23903  dvrec  23909  dvexp3  23932  dveflem  23933  dvlipcn  23948  lhop1lem  23967  ftc1cn  23997  dvply1  24230  dvtaylp  24315  taylthlem2  24319  psercn  24371  pserdvlem2  24373  pserdv  24374  abelth  24386  logcn  24584  dvloglem  24585  dvlog  24588  dvlog2  24590  efopnlem2  24594  logtayl  24597  cxpcn  24677  cxpcn2  24678  cxpcn3  24680  resqrtcn  24681  sqrtcn  24682  dvatan  24853  ftalem3  24992  cxpcncf1  30974  retopsconn  31530  ivthALT  32628  knoppcnlem10  32790  knoppcnlem11  32791  dvtan  33765  ftc1cnnc  33789  dvasin  33801  dvacos  33802  binomcxplemdvbinom  39046  binomcxplemnotnn0  39049  fsumcncf  40586  ioccncflimc  40593  cncfuni  40594  icocncflimc  40597  cncfiooicclem1  40601  cxpcncf2  40608  itgsubsticclem  40686  dirkercncflem2  40816  dirkercncflem4  40818  fourierdlem32  40851  fourierdlem33  40852  fourierdlem62  40880  fourierdlem93  40911  fourierdlem101  40919