MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restopn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restopn2 20962
Description: The if 𝐴 is open, then 𝐵 is open in 𝐴 iff it is an open subset of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
restopn2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))

Proof of Theorem restopn2
StepHypRef Expression
1 elssuni 4458 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵 (𝐽t 𝐴))
2 elssuni 4458 . . . . . . 7 (𝐴𝐽𝐴 𝐽)
3 eqid 2620 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
43restuni 20947 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
52, 4sylan2 491 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
65sseq2d 3625 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵𝐴𝐵 (𝐽t 𝐴)))
71, 6syl5ibr 236 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) → 𝐵𝐴))
87pm4.71rd 666 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
9 simpll 789 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐽 ∈ Top)
10 simplr 791 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐽)
11 ssid 3616 . . . . . 6 𝐴𝐴
1211a1i 11 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐴)
13 simpr 477 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
14 restopnb 20960 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ (𝐴𝐽𝐴𝐴𝐵𝐴)) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
159, 10, 10, 12, 13, 14syl23anc 1331 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐽𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴)))
1615pm5.32da 672 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → ((𝐵𝐴𝐵𝐽) ↔ (𝐵𝐴𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴))))
178, 16bitr4d 271 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐴𝐵𝐽)))
18 ancom 466 . 2 ((𝐵𝐴𝐵𝐽) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴))
1917, 18syl6bb 276 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝐽) → (𝐵 ∈ (𝐽t 𝐴) ↔ (𝐵𝐽𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wss 3567   cuni 4427  (class class class)co 6635  t crest 16062  Topctop 20679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fi 8302  df-rest 16064  df-topgen 16085  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731
This theorem is referenced by:  restdis  20963  perfopn  20970  llyrest  21269  nllyrest  21270  llyidm  21272  nllyidm  21273  lly1stc  21280  qtoprest  21501  xrtgioo  22590  lhop  23760  efopnlem2  24384  cvmopnlem  31234  cvmlift2lem9a  31259  cvmlift2lem9  31267  cvmlift3lem6  31280
  Copyright terms: Public domain W3C validator