MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restrcl 20678
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 20441 . . 3 ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t 𝐴))
2 n0i 3782 . . 3 (∅ ∈ (𝐽t 𝐴) → ¬ (𝐽t 𝐴) = ∅)
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → ¬ (𝐽t 𝐴) = ∅)
4 restfn 15796 . . . 4 t Fn (V × V)
5 fndm 5789 . . . 4 ( ↾t Fn (V × V) → dom ↾t = (V × V))
64, 5ax-mp 5 . . 3 dom ↾t = (V × V)
76ndmov 6590 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
83, 7nsyl2 140 1 ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  c0 3777   × cxp 4930  dom cdm 4932   Fn wfn 5684  (class class class)co 6425  t crest 15792  Topctop 20424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-rest 15794  df-top 20428
This theorem is referenced by:  cnrest2r  20808  imacmp  20917  fiuncmp  20924  concompss  20953  kgeni  21057  kgencmp  21065  kgencmp2  21066
  Copyright terms: Public domain W3C validator