Theorem restsn2 21782

Description: The subspace topology induced by a singleton. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restsn2	⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})

Proof of Theorem restsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4744	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
2		resttopon 21772	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}))
3	1, 2	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}))
4		topsn 21542	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t {𝐴}) ∈ (TopOn‘{𝐴}) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t {𝐴}) = 𝒫 {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542  {csn 4570  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↾_t crest 16697  TopOnctopon 21521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-fin 8516  df-fi 8878  df-rest 16699  df-topgen 16720  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557

This theorem is referenced by:  conncompid  22042  xkohaus  22264  xkoptsub  22265  cvmlift2lem9  32562  cncfdmsn  42179