Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvsca 29615
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
resvsca (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
4 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝐹s 𝐴) = (𝐹s 𝐴)
5 resvsca.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
64, 5ressid2 15849 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
73, 6mp3an2 1409 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
873adant2 1078 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
9 resvsca.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
109, 1, 5resvid2 29613 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
1110fveq2d 6152 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
121, 8, 113eqtr4a 2681 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
13123expib 1265 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
14 simp2 1060 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
15 ovex 6632 . . . . . 6 (𝐹s 𝐴) ∈ V
16 scaid 15935 . . . . . . 7 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
1716setsid 15835 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ V) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
1814, 15, 17sylancl 693 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
199, 1, 5resvval2 29614 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩))
2019fveq2d 6152 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
2118, 20eqtr4d 2658 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
22213expib 1265 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
2313, 22pm2.61i 176 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
24 0fv 6184 . . . . 5 (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
25 0ex 4750 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2625, 16strfvn 15801 . . . . 5 (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
27 ress0 15855 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐴) = ∅
2824, 26, 273eqtr4ri 2654 . . . 4 (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
29 fvprc 6142 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
301, 29syl5eq 2667 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
3130oveq1d 6619 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
32 reldmresv 29611 . . . . . . 7 Rel dom ↾v
3332ovprc1 6637 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
349, 33syl5eq 2667 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3534fveq2d 6152 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
3628, 31, 353eqtr4a 2681 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3736adantr 481 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3823, 37pm2.61ian 830 1 (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  c0 3891  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  ndxcnx 15778   sSet csts 15779  Basecbs 15781  s cress 15782  Scalarcsca 15865  v cresv 29609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-sca 15878  df-resv 29610
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  29629  sitgaddlemb  30191
  Copyright terms: Public domain W3C validator