Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  resvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resvsca 30139
Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
resvsca.r 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
resvsca.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
resvsca.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
resvsca (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))

Proof of Theorem resvsca
StepHypRef Expression
1 resvsca.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 fvex 6362 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝐹 ∈ V
4 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝐹s 𝐴) = (𝐹s 𝐴)
5 resvsca.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐹)
64, 5ressid2 16130 . . . . . . 7 ((𝐵𝐴𝐹 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
73, 6mp3an2 1561 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
873adant2 1126 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = 𝐹)
9 resvsca.r . . . . . . 7 𝑅 = (𝑊v 𝐴)
109, 1, 5resvid2 30137 . . . . . 6 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑊)
1110fveq2d 6356 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑊))
121, 8, 113eqtr4a 2820 . . . 4 ((𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
13123expib 1117 . . 3 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
14 simp2 1132 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑊 ∈ V)
15 ovex 6841 . . . . . 6 (𝐹s 𝐴) ∈ V
16 scaid 16216 . . . . . . 7 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
1716setsid 16116 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝐹s 𝐴) ∈ V) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
1814, 15, 17sylancl 697 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
199, 1, 5resvval2 30138 . . . . . 6 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩))
2019fveq2d 6356 . . . . 5 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝐹s 𝐴)⟩)))
2118, 20eqtr4d 2797 . . . 4 ((¬ 𝐵𝐴𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
22213expib 1117 . . 3 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅)))
2313, 22pm2.61i 176 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
24 0fv 6388 . . . . 5 (∅‘(Scalar‘ndx)) = ∅
25 0ex 4942 . . . . . 6 ∅ ∈ V
2625, 16strfvn 16081 . . . . 5 (Scalar‘∅) = (∅‘(Scalar‘ndx))
27 ress0 16136 . . . . 5 (∅ ↾s 𝐴) = ∅
2824, 26, 273eqtr4ri 2793 . . . 4 (∅ ↾s 𝐴) = (Scalar‘∅)
29 fvprc 6346 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑊) = ∅)
301, 29syl5eq 2806 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝐹 = ∅)
3130oveq1d 6828 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (∅ ↾s 𝐴))
32 reldmresv 30135 . . . . . . 7 Rel dom ↾v
3332ovprc1 6847 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → (𝑊v 𝐴) = ∅)
349, 33syl5eq 2806 . . . . 5 𝑊 ∈ V → 𝑅 = ∅)
3534fveq2d 6356 . . . 4 𝑊 ∈ V → (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘∅))
3628, 31, 353eqtr4a 2820 . . 3 𝑊 ∈ V → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3736adantr 472 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
3823, 37pm2.61ian 866 1 (𝐴𝑉 → (𝐹s 𝐴) = (Scalar‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  cop 4327  cfv 6049  (class class class)co 6813  ndxcnx 16056   sSet csts 16057  Basecbs 16059  s cress 16060  Scalarcsca 16146  v cresv 30133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-sca 16159  df-resv 30134
This theorem is referenced by:  xrge0slmod  30153  sitgaddlemb  30719
  Copyright terms: Public domain W3C validator