Theorem retopconn 22853

Description: Corollary of reconn 22852. The set of real numbers is connected. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
retopconn	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Conn

Proof of Theorem retopconn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 22786	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 22787	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	restid 16316	. . 3 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) = (topGen‘ran (,))
5		iccssre 12468	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ)
6	5	rgen2a 3115	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ
7		ssid 3765	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
8		reconn 22852	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ → (((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) ∈ Conn ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥[,]𝑦) ⊆ ℝ)
10	6, 9	mpbir 221	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t ℝ) ∈ Conn
11	4, 10	eqeltrri 2836	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Conn

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ran crn 5267  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391   ↾_t crest 16303  topGenctg 16320  Topctop 20920  Conncconn 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-icc 12395  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-top 20921  df-topon 20938  df-bases 20972  df-cld 21045  df-conn 21437

This theorem is referenced by:  mblfinlem1  33777