MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  retopon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retopon 22490
Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
retopon (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon
StepHypRef Expression
1 retop 22488 . 2 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2 uniretop 22489 . . 3 ℝ = (topGen‘ran (,))
32toptopon 20657 . 2 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
41, 3mpbi 220 1 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  ran crn 5080  cfv 5852  cr 9887  (,)cioo 12125  topGenctg 16030  Topctop 20630  TopOnctopon 20647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-ioo 12129  df-topgen 16036  df-top 20631  df-topon 20648  df-bases 20674
This theorem is referenced by:  xrtgioo  22532  reconnlem1  22552  reconn  22554  cnmpt2pc  22650  cnrehmeo  22675  bndth  22680  evth2  22682  htpycc  22702  pcocn  22740  pcohtpylem  22742  pcopt  22745  pcopt2  22746  pcoass  22747  pcorevlem  22749  circcn  29711  tpr2tp  29756  sxbrsiga  30157  cvmliftlem8  31017  knoppcnlem10  32169  knoppcnlem11  32170  poimir  33109  broucube  33110  cnambfre  33125  reheibor  33305  rfcnpre1  38696  fcnre  38702  refsumcn  38707  refsum2cnlem1  38714  climreeq  39277  islptre  39283  icccncfext  39431  stoweidlem47  39597  dirkercncflem4  39656  dirkercncf  39657  fourierdlem62  39718
  Copyright terms: Public domain W3C validator