Theorem retopon 23374

Description: The standard topology on the reals is a topology on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
retopon	⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Proof of Theorem retopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		retop 23372	. 2 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2		uniretop 23373	. . 3 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
3	2	toptopon 21527	. 2 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ↔ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
4	1, 3	mpbi 232	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)

Syntax hints:   ∈ wcel 2114  ran crn 5558  ‘cfv 6357  ℝcr 10538  (,)cioo 12741  topGenctg 16713  Topctop 21503  TopOnctopon 21520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-ioo 12745  df-topgen 16719  df-top 21504  df-topon 21521  df-bases 21556

This theorem is referenced by:  xrtgioo  23416  reconnlem1  23436  reconn  23438  cnmpopc  23534  cnrehmeo  23559  bndth  23564  evth2  23566  htpycc  23586  pcocn  23623  pcohtpylem  23625  pcopt  23628  pcopt2  23629  pcoass  23630  pcorevlem  23632  circcn  31104  tpr2tp  31149  sxbrsiga  31550  cvmliftlem8  32541  knoppcnlem10  33843  knoppcnlem11  33844  poimir  34927  broucube  34928  cnambfre  34942  reheibor  35119  rfcnpre1  41283  fcnre  41289  refsumcn  41294  refsum2cnlem1  41301  climreeq  41901  islptre  41907  icccncfext  42177  stoweidlem47  42339  dirkercncflem4  42398  dirkercncf  42399  fourierdlem62  42460