MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reust Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reust 23109
Description: The Uniform structure of the real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
reust (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))

Proof of Theorem reust
StepHypRef Expression
1 df-refld 19891 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
21fveq2i 6161 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘(ℂflds ℝ))
3 reex 9987 . . . 4 ℝ ∈ V
4 ressuss 22007 . . . 4 (ℝ ∈ V → (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)))
53, 4ax-mp 5 . . 3 (UnifSt‘(ℂflds ℝ)) = ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ))
6 eqid 2621 . . . . 5 (UnifSt‘ℂfld) = (UnifSt‘ℂfld)
76cnflduss 23092 . . . 4 (UnifSt‘ℂfld) = (metUnif‘(abs ∘ − ))
87oveq1i 6625 . . 3 ((UnifSt‘ℂfld) ↾t (ℝ × ℝ)) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
92, 5, 83eqtri 2647 . 2 (UnifSt‘ℝfld) = ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ))
10 0re 10000 . . . 4 0 ∈ ℝ
1110ne0ii 3905 . . 3 ℝ ≠ ∅
12 cnxmet 22516 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
13 xmetpsmet 22093 . . . 4 ((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) → (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ))
1412, 13ax-mp 5 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ)
15 ax-resscn 9953 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
16 restmetu 22315 . . 3 ((ℝ ≠ ∅ ∧ (abs ∘ − ) ∈ (PsMet‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
1711, 14, 15, 16mp3an 1421 . 2 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ↾t (ℝ × ℝ)) = (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
18 reds 19902 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘ℝfld)
1918reseq1i 5362 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ))
2019fveq2i 6161 . 2 (metUnif‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
219, 17, 203eqtri 2647 1 (UnifSt‘ℝfld) = (metUnif‘((dist‘ℝfld) ↾ (ℝ × ℝ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  wss 3560  c0 3897   × cxp 5082  cres 5086  ccom 5088  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  cmin 10226  abscabs 13924  s cress 15801  distcds 15890  t crest 16021  PsMetcpsmet 19670  ∞Metcxmt 19671  metUnifcmetu 19677  fldccnfld 19686  fldcrefld 19890  UnifStcuss 21997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ico 12139  df-fz 12285  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-rest 16023  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-metu 19685  df-cnfld 19687  df-refld 19891  df-fil 21590  df-ust 21944  df-uss 22000
This theorem is referenced by:  recusp  23110  rerrext  29877
  Copyright terms: Public domain W3C validator