MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revccat 13561
Description: Antiautomorphic property of the reversal operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revccat ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))

Proof of Theorem revccat
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatcl 13392 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 13556 . . . 4 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 13342 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)):(0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))))⟶𝐴)
4 ffn 6083 . . . 4 ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)):(0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))))⟶𝐴 → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))))
6 revlen 13557 . . . . . . 7 ((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (#‘(𝑆 ++ 𝑇)))
8 ccatlen 13393 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))
9 lencl 13356 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
109nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
11 lencl 13356 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
13 addcom 10260 . . . . . . . 8 (((#‘𝑆) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑇) ∈ ℂ) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
1410, 12, 13syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
158, 14eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
167, 15eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
1716oveq2d 6706 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) = (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
1817fneq2d 6020 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)))) ↔ (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
195, 18mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
20 revcl 13556 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
21 revcl 13556 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
22 ccatcl 13392 . . . . 5 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
2320, 21, 22syl2anr 494 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴)
24 wrdf 13342 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)):(0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))))⟶𝐴)
25 ffn 6083 . . . 4 (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)):(0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))))⟶𝐴 → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
2623, 24, 253syl 18 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))))
27 ccatlen 13393 . . . . . . 7 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴) → (#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))))
2820, 21, 27syl2anr 494 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))))
29 revlen 13557 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑇)) = (#‘𝑇))
30 revlen 13557 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑆)) = (#‘𝑆))
3129, 30oveqan12rd 6710 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
3228, 31eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))) = ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))
3332oveq2d 6706 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) = (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
3433fneq2d 6020 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^(#‘((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))) ↔ ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
3526, 34mpbid 222 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)) Fn (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
36 id 22 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
3711nn0zd 11518 . . . . 5 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
3837adantl 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
39 fzospliti 12539 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
4036, 38, 39syl2anr 494 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
41 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
42 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
43 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑇) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑇)) = (0...((#‘𝑇) − 1)))
4438, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑇)) = (0...((#‘𝑇) − 1)))
4544eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑇) − 1))))
4645biimpa 500 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)))
47 fznn0sub2 12485 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)) → (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)))
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑇) − 1)))
4944adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (0..^(#‘𝑇)) = (0...((#‘𝑇) − 1)))
5048, 49eleqtrrd 2733 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
51 ccatval3 13397 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆))) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5241, 42, 50, 51syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆))) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
5315oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))
5412adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
5510adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
56 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
5754, 55, 56addsubd 10451 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) = (((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)))
5853, 57eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)))
5958oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)) − 𝑥))
6059adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)) − 𝑥))
61 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑇) ∈ ℤ → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6237, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℤ)
6362zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6463ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((#‘𝑇) − 1) ∈ ℂ)
6510ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (#‘𝑆) ∈ ℂ)
66 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6766zcnd 11521 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6867adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6964, 65, 68addsubd 10451 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((((#‘𝑇) − 1) + (#‘𝑆)) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆)))
7060, 69eqtrd 2685 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆)))
7170fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘((((#‘𝑇) − 1) − 𝑥) + (#‘𝑆))))
72 revfv 13558 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7372adantll 750 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(((#‘𝑇) − 1) − 𝑥)))
7452, 71, 733eqtr4d 2695 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
751adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
76 uzid 11740 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑇) ∈ ℤ → (#‘𝑇) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
7738, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
789adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
79 uzaddcl 11782 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑇) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
8077, 78, 79syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
8115, 80eqeltrd 2730 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)))
82 fzoss2 12535 . . . . . . . 8 ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑇)) → (0..^(#‘𝑇)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8381, 82syl 17 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑇)) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
8483sselda 3636 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
85 revfv 13558 . . . . . 6 (((𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8675, 84, 85syl2anc 694 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
8720ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
8821ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
8929adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘(reverse‘𝑇)) = (#‘𝑇))
9089oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘(reverse‘𝑇))) = (0..^(#‘𝑇)))
9190eleq2d 2716 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑇))) ↔ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))))
9291biimpar 501 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑇))))
93 ccatval1 13395 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑇)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9487, 88, 92, 93syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑇)‘𝑥))
9574, 86, 943eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
968oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − 1))
9755, 54, 56addsubd 10451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑆) + (#‘𝑇)) − 1) = (((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)))
9896, 97eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) = (((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)))
9998oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)) − 𝑥))
10099adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)) − 𝑥))
1019nn0zd 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
102 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℤ)
104103zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
105104ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((#‘𝑆) − 1) ∈ ℂ)
106 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℤ)
107106zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ℂ)
108107adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
10912ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (#‘𝑇) ∈ ℂ)
110105, 108, 109subsub3d 10460 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))) = ((((#‘𝑆) − 1) + (#‘𝑇)) − 𝑥))
111100, 110eqtr4d 2688 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))))
11289oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (#‘𝑇)))
113112oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))))
114113adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘𝑇))))
115111, 114eqtr4d 2688 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
116115fveq2d 6233 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑆‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))))))
117 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
118 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑇 ∈ Word 𝐴)
119 zaddcl 11455 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑇) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ)
12037, 101, 119syl2anr 494 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ)
121 peano2zm 11458 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
123122adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ)
124 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℤ → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) = ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)))
125120, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) = ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)))
126125eleq2d 2716 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ↔ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))))
127126biimpa 500 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)))
128 fzrev2i 12443 . . . . . . . . 9 (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)...(((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
129123, 127, 128syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥) ∈ (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
13053oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
131130adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) = ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − 𝑥))
132101adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
133 fzoval 12510 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑆) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑆)) = (0...((#‘𝑆) − 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑆)) = (0...((#‘𝑆) − 1)))
135122zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) ∈ ℂ)
136135subidd 10418 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1)) = 0)
137 addcl 10056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℂ) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℂ)
13812, 10, 137syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) ∈ ℂ)
139138, 56, 54sub32d 10462 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇)) = ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) − 1))
140 pncan2 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (#‘𝑆) ∈ ℂ) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) = (#‘𝑆))
14112, 10, 140syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) = (#‘𝑆))
142141oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − (#‘𝑇)) − 1) = ((#‘𝑆) − 1))
143139, 142eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇)) = ((#‘𝑆) − 1))
144136, 143oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))) = (0...((#‘𝑆) − 1)))
145134, 144eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘𝑆)) = (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
146145adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (0..^(#‘𝑆)) = (((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1))...((((#‘𝑇) + (#‘𝑆)) − 1) − (#‘𝑇))))
147129, 131, 1463eltr4d 2745 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
148 ccatval1 13395 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴 ∧ (((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
149117, 118, 147, 148syl3anc 1366 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = (𝑆‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
15029ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (#‘(reverse‘𝑇)) = (#‘𝑇))
151150oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) = (𝑥 − (#‘𝑇)))
152 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) → 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
153 fzosubel3 12568 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ∧ (#‘𝑆) ∈ ℤ) → (𝑥 − (#‘𝑇)) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
154152, 132, 153syl2anr 494 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 − (#‘𝑇)) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
155151, 154eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(#‘𝑆)))
156 revfv 13558 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))) ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))))))
157117, 155, 156syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))) = (𝑆‘(((#‘𝑆) − 1) − (𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇))))))
158116, 149, 1573eqtr4d 2695 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
1591adantr 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐴)
16011adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
161 fzoss1 12534 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑇) ∈ (ℤ‘0) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
162 nn0uz 11760 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
163161, 162eleq2s 2748 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑇) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
164160, 163syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
16515oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))) = (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
166164, 165sseqtr4d 3675 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))) ⊆ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
167166sselda 3636 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝑆 ++ 𝑇))))
168159, 167, 85syl2anc 694 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = ((𝑆 ++ 𝑇)‘(((#‘(𝑆 ++ 𝑇)) − 1) − 𝑥)))
16920ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴)
17021ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴)
17189, 31oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆)))) = ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))
172171eleq2d 2716 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (𝑥 ∈ ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆)))) ↔ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))))
173172biimpar 501 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → 𝑥 ∈ ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆)))))
174 ccatval2 13396 . . . . . 6 (((reverse‘𝑇) ∈ Word 𝐴 ∧ (reverse‘𝑆) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ ((#‘(reverse‘𝑇))..^((#‘(reverse‘𝑇)) + (#‘(reverse‘𝑆))))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
175169, 170, 173, 174syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥) = ((reverse‘𝑆)‘(𝑥 − (#‘(reverse‘𝑇)))))
176158, 168, 1753eqtr4d 2695 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17795, 176jaodan 843 . . 3 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑇)) ∨ 𝑥 ∈ ((#‘𝑇)..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆))))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17840, 177syldan 486 . 2 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑇) + (#‘𝑆)))) → ((reverse‘(𝑆 ++ 𝑇))‘𝑥) = (((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆))‘𝑥))
17919, 35, 178eqfnfvd 6354 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝑇 ∈ Word 𝐴) → (reverse‘(𝑆 ++ 𝑇)) = ((reverse‘𝑇) ++ (reverse‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325  reversecreverse 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-reverse 13337
This theorem is referenced by:  gsumwrev  17842  efginvrel2  18186
  Copyright terms: Public domain W3C validator