Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revrev Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revrev 13562
 Description: Reversion is an involution on words. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
revrev (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)

Proof of Theorem revrev
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 revcl 13556 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
2 revcl 13556 . . . 4 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴)
3 wrdf 13342 . . . 4 ((reverse‘(reverse‘𝑊)) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴)
4 ffn 6083 . . . 4 ((reverse‘(reverse‘𝑊)):(0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))))⟶𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
51, 2, 3, 44syl 19 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))))
6 revlen 13557 . . . . . . 7 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (#‘(reverse‘𝑊)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (#‘(reverse‘𝑊)))
8 revlen 13557 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑊)) = (#‘𝑊))
97, 8eqtrd 2685 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘(reverse‘𝑊))) = (#‘𝑊))
109oveq2d 6706 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) = (0..^(#‘𝑊)))
1110fneq2d 6020 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘(reverse‘(reverse‘𝑊)))) ↔ (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘𝑊))))
125, 11mpbid 222 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) Fn (0..^(#‘𝑊)))
13 wrdfn 13351 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
141adantr 480 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
15 simpr 476 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
168adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(reverse‘𝑊)) = (#‘𝑊))
1716oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(#‘𝑊)))
1815, 17eleqtrrd 2733 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊))))
19 revfv 13558 . . . 4 (((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊)))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
2014, 18, 19syl2anc 694 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)))
2116oveq1d 6705 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
2221oveq1d 6705 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
2322fveq2d 6233 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
24 lencl 13356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
2524nn0zd 11518 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
26 fzoval 12510 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
2827eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))))
2928biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
30 fznn0sub2 12485 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
3227adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
3331, 32eleqtrrd 2733 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
34 revfv 13558 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
3533, 34syldan 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
36 peano2zm 11458 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
3725, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℤ)
3837zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → ((#‘𝑊) − 1) ∈ ℂ)
39 elfzoelz 12509 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
4039zcnd 11521 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
41 nncan 10348 . . . . . . 7 ((((#‘𝑊) − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
4238, 40, 41syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = 𝑥)
4342fveq2d 6233 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) = (𝑊𝑥))
4435, 43eqtrd 2685 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝑊𝑥))
4523, 44eqtrd 2685 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘(((#‘(reverse‘𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝑊𝑥))
4620, 45eqtrd 2685 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘(reverse‘𝑊))‘𝑥) = (𝑊𝑥))
4712, 13, 46eqfnfvd 6354 1 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘(reverse‘𝑊)) = 𝑊)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   − cmin 10304  ℤcz 11415  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  reversecreverse 13329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-reverse 13337 This theorem is referenced by:  efginvrel1  18187
 Copyright terms: Public domain W3C validator