MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revval 13555
Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revval (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3243 . 2 (𝑊𝑉𝑊 ∈ V)
2 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (#‘𝑤) = (#‘𝑊))
32oveq2d 6706 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(#‘𝑤)) = (0..^(#‘𝑊)))
4 id 22 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
52oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((#‘𝑤) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
65oveq1d 6705 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (((#‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
74, 6fveq12d 6235 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
83, 7mpteq12dv 4766 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9 df-reverse 13337 . . 3 reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10 ovex 6718 . . . 4 (0..^(#‘𝑊)) ∈ V
1110mptex 6527 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
128, 9, 11fvmpt 6321 . 2 (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
131, 12syl 17 1 (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  1c1 9975  cmin 10304  ..^cfzo 12504  #chash 13157  reversecreverse 13329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-reverse 13337
This theorem is referenced by:  revcl  13556  revlen  13557  revfv  13558  repswrevw  13579  revco  13626
  Copyright terms: Public domain W3C validator