MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revval 13214
Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revval (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3089 . 2 (𝑊𝑉𝑊 ∈ V)
2 fveq2 5986 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (#‘𝑤) = (#‘𝑊))
32oveq2d 6441 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (0..^(#‘𝑤)) = (0..^(#‘𝑊)))
4 id 22 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊𝑤 = 𝑊)
52oveq1d 6440 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ((#‘𝑤) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
65oveq1d 6440 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (((#‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
74, 6fveq12d 5992 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
83, 7mpteq12dv 4561 . . 3 (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9 df-reverse 13014 . . 3 reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10 ovex 6453 . . . 4 (0..^(#‘𝑊)) ∈ V
1110mptex 6266 . . 3 (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
128, 9, 11fvmpt 6074 . 2 (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
131, 12syl 17 1 (𝑊𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  cmpt 4541  cfv 5689  (class class class)co 6425  0cc0 9689  1c1 9690  cmin 10015  ..^cfzo 12198  #chash 12843  reversecreverse 13006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pr 4732
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-reverse 13014
This theorem is referenced by:  revcl  13215  revlen  13216  revfv  13217  repswrevw  13238  revco  13285
  Copyright terms: Public domain W3C validator