Theorem revval 13214

Description: Value of the word reversing function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
revval	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑊

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem revval

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3089	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
2		fveq2 5986	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (#‘𝑤) = (#‘𝑊))
3	2	oveq2d 6441	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (0..^(#‘𝑤)) = (0..^(#‘𝑊)))
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → 𝑤 = 𝑊)
5	2	oveq1d 6440	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((#‘𝑤) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
6	5	oveq1d 6440	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (((#‘𝑤) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
7	4, 6	fveq12d 5992	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥)) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
8	3, 7	mpteq12dv 4561	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
9		df-reverse 13014	. . 3 ⊢ reverse = (𝑤 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑤)) ↦ (𝑤‘(((#‘𝑤) − 1) − 𝑥))))
10		ovex 6453	. . . 4 ⊢ (0..^(#‘𝑊)) ∈ V
11	10	mptex 6266	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))) ∈ V
12	8, 9, 11	fvmpt 6074	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ V → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
13	1, 12	syl 17	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (reverse‘𝑊) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  Vcvv 3077   ↦ cmpt 4541  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425  0cc0 9689  1c1 9690   − cmin 10015  ..^cfzo 12198  #chash 12843  reversecreverse 13006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pr 4732

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-reverse 13014

This theorem is referenced by:  revcl  13215  revlen  13216  revfv  13217  repswrevw  13238  revco  13285