Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rexfrabdioph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexfrabdioph 37853
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rexfrabdioph.1 𝑀 = (𝑁 + 1)
Assertion
Ref Expression
rexfrabdioph ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑡,𝑣,𝑀   𝑡,𝑁,𝑢,𝑣   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)

Proof of Theorem rexfrabdioph
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2894 . . 3 𝑢(ℕ0𝑚 (1...𝑁))
2 nfcv 2894 . . 3 𝑎(ℕ0𝑚 (1...𝑁))
3 nfv 1984 . . 3 𝑎𝑣 ∈ ℕ0 𝜑
4 nfcv 2894 . . . 4 𝑢0
5 nfsbc1v 3588 . . . 4 𝑢[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
64, 5nfrex 3137 . . 3 𝑢𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑
7 nfv 1984 . . . . 5 𝑏𝜑
8 nfsbc1v 3588 . . . . 5 𝑣[𝑏 / 𝑣]𝜑
9 sbceq1a 3579 . . . . 5 (𝑣 = 𝑏 → (𝜑[𝑏 / 𝑣]𝜑))
107, 8, 9cbvrex 3299 . . . 4 (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑)
11 sbceq1a 3579 . . . . 5 (𝑢 = 𝑎 → ([𝑏 / 𝑣]𝜑[𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
1211rexbidv 3182 . . . 4 (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑏 / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
1310, 12syl5bb 272 . . 3 (𝑢 = 𝑎 → (∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑))
141, 2, 3, 6, 13cbvrab 3330 . 2 {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑}
15 rexfrabdioph.1 . . 3 𝑀 = (𝑁 + 1)
16 dfsbcq 3570 . . . 4 (𝑏 = (𝑡𝑀) → ([𝑏 / 𝑣]𝜑[(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
1716sbcbidv 3623 . . 3 (𝑏 = (𝑡𝑀) → ([𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑[𝑎 / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
18 dfsbcq 3570 . . 3 (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([𝑎 / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑[(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑))
1915, 17, 18rexrabdioph 37852 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 [𝑎 / 𝑢][𝑏 / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
2014, 19syl5eqel 2835 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ {𝑡 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) → {𝑢 ∈ (ℕ0𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wrex 3043  {crab 3046  [wsbc 3568  cres 5260  cfv 6041  (class class class)co 6805  𝑚 cmap 8015  1c1 10121   + caddc 10123  0cn0 11476  ...cfz 12511  Diophcdioph 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304  df-mzpcl 37780  df-mzp 37781  df-dioph 37813
This theorem is referenced by:  2rexfrabdioph  37854  3rexfrabdioph  37855  7rexfrabdioph  37858  rmxdioph  38077  expdiophlem2  38083
  Copyright terms: Public domain W3C validator