MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexico 14074
Description: Restrict the base of an upper real quantifier to an upper real set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rexico ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑘)

Proof of Theorem rexico
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 pnfxr 10077 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
3 icossre 12239 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
41, 2, 3sylancl 693 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ)
5 ssrexv 3659 . . 3 ((𝐵[,)+∞) ⊆ ℝ → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
7 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝑗 ∈ ℝ)
8 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8ifcld 4122 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ)
10 max1 12001 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
1110adantll 749 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))
12 elicopnf 12254 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
1312ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵))))
149, 11, 13mpbir2and 956 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞))
158adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
16 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑗 ∈ ℝ)
17 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
1817sselda 3595 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℝ)
19 maxle 12007 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
2015, 16, 18, 19syl3anc 1324 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘 ↔ (𝐵𝑘𝑗𝑘)))
21 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑘𝑗𝑘) → 𝑗𝑘)
2220, 21syl6bi 243 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝑗𝑘))
2322imim1d 82 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) ∧ 𝑘𝐴) → ((𝑗𝑘𝜑) → (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
2423ralimdva 2959 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
25 breq1 4647 . . . . . . . 8 (𝑛 = if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) → (𝑛𝑘 ↔ if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘))
2625imbi1d 331 . . . . . . 7 (𝑛 = if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
2726ralbidv 2983 . . . . . 6 (𝑛 = if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)))
2827rspcev 3304 . . . . 5 ((if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ ∀𝑘𝐴 (if(𝐵𝑗, 𝑗, 𝐵) ≤ 𝑘𝜑)) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑))
2914, 24, 28syl6an 567 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
3029rexlimdva 3027 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑)))
31 breq1 4647 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝑘𝑗𝑘))
3231imbi1d 331 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑛𝑘𝜑) ↔ (𝑗𝑘𝜑)))
3332ralbidv 2983 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
3433cbvrexv 3167 . . 3 (∃𝑛 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑛𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑))
3530, 34syl6ib 241 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) → ∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
366, 35impbid 202 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑗 ∈ (𝐵[,)+∞)∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑) ↔ ∃𝑗 ∈ ℝ ∀𝑘𝐴 (𝑗𝑘𝜑)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  wss 3567  ifcif 4077   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cr 9920  +∞cpnf 10056  *cxr 10058  cle 10060  [,)cico 12162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ico 12166
This theorem is referenced by:  rlimi2  14226  ello1mpt2  14234  dvfsumrlim  23775
  Copyright terms: Public domain W3C validator