MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rexmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rexmul 12060
Description: The extended real multiplication when both arguments are real. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexmul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem rexmul
StepHypRef Expression
1 renepnf 10047 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
21adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ +∞)
32necon2bi 2820 . . . . . . . . 9 (𝐴 = +∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
43adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐵𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
5 renemnf 10048 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
65adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ -∞)
76necon2bi 2820 . . . . . . . . 9 (𝐴 = -∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
87adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
94, 8jaoi 394 . . . . . . 7 (((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
10 renepnf 10047 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ +∞)
1110adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ +∞)
1211necon2bi 2820 . . . . . . . . 9 (𝐵 = +∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1312adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
14 renemnf 10048 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ≠ -∞)
1514adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ -∞)
1615necon2bi 2820 . . . . . . . . 9 (𝐵 = -∞ → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1716adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1813, 17jaoi 394 . . . . . . 7 (((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
199, 18jaoi 394 . . . . . 6 ((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2019con2i 134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))))
2120iffalsed 4075 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵))) = if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))
227adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐵𝐴 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
233adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2422, 23jaoi 394 . . . . . . 7 (((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2516adantl 482 . . . . . . . 8 ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2612adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2725, 26jaoi 394 . . . . . . 7 (((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞)) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2824, 27jaoi 394 . . . . . 6 ((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))) → ¬ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
2928con2i 134 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ¬ (((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))))
3029iffalsed 4075 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵))
3121, 30eqtrd 2655 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵))) = (𝐴 · 𝐵))
3231ifeq2d 4083 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, (𝐴 · 𝐵)))
33 rexr 10045 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
34 rexr 10045 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
35 xmulval 12015 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ·e 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))))
3633, 34, 35syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, if((((0 < 𝐵𝐴 = +∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = -∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = +∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = -∞))), +∞, if((((0 < 𝐵𝐴 = -∞) ∨ (𝐵 < 0 ∧ 𝐴 = +∞)) ∨ ((0 < 𝐴𝐵 = -∞) ∨ (𝐴 < 0 ∧ 𝐵 = +∞))), -∞, (𝐴 · 𝐵)))))
37 ifid 4103 . . 3 if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), (𝐴 · 𝐵), (𝐴 · 𝐵)) = (𝐴 · 𝐵)
38 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
39 mul02lem2 10173 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (0 · 𝐵) = 0)
4039adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 · 𝐵) = 0)
4138, 40sylan9eqr 2677 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
42 oveq2 6623 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → (𝐴 · 𝐵) = (𝐴 · 0))
43 recn 9986 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
4443mul01d 10195 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 0) = 0)
4544adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
4642, 45sylan9eqr 2677 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
4741, 46jaodan 825 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0)) → (𝐴 · 𝐵) = 0)
4847ifeq1da 4094 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), (𝐴 · 𝐵), (𝐴 · 𝐵)) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, (𝐴 · 𝐵)))
4937, 48syl5eqr 2669 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) = if((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 0), 0, (𝐴 · 𝐵)))
5032, 36, 493eqtr4d 2665 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  ifcif 4064   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896   · cmul 9901  +∞cpnf 10031  -∞cmnf 10032  *cxr 10033   < clt 10034   ·e cxmu 11905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-xmul 11908
This theorem is referenced by:  xmulid1  12068  xmulgt0  12072  xmulasslem3  12075  xlemul1a  12077  xlemul1  12079  xadddilem  12083  nmoix  22473  nmoi2  22474  metnrmlem3  22604  nmoleub2lem  22854  xrecex  29455  rexdiv  29461  pnfinf  29564  xrge0slmod  29671  esumcst  29948  omssubadd  30185
  Copyright terms: Public domain W3C validator