Theorem rfcnpre1 41266

Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
rfcnpre1.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐵
rfcnpre1.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
rfcnpre1.3	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
rfcnpre1.4	⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre1.5	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
rfcnpre1.6	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
rfcnpre1.7	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
rfcnpre1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rfcnpre1.3	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		rfcnpre1.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
3	2	nfcnv 5742	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥◡𝐹
4		rfcnpre1.1	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
5		nfcv 2975	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(,)
6		nfcv 2975	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥+∞
7	4, 5, 6	nfov 7178	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵(,)+∞)
8	3, 7	nfima 5930	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥(◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞))
9		nfrab1 3383	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
10		rfcnpre1.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11		cntop1 21840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
13		rfcnpre1.5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
14		istopon 21512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = ∪ 𝐽))
15	12, 13, 14	sylanblrc 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16		rfcnpre1.4	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (topGen‘ran (,))
17		retopon 23364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
18	16, 17	eqeltri 2907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
19		iscn 21835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
20	15, 18, 19	sylancl 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽)))
21	10, 20	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐾 (◡𝐹 “ 𝑦) ∈ 𝐽))
22	21	simpld 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℝ)
23	22	ffvelrnda 6844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
24		rfcnpre1.7	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
25		elioopnf 12823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	baibd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
28	23, 27	syldan 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
29	28	pm5.32da 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
30		ffn 6507	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
31		elpreima 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
32	22, 30, 31	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
33		rabid 3377	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)))
34	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)} ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 < (𝐹‘𝑥))))
35	29, 32, 34	3bitr4d 313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}))
36	1, 8, 9, 35	eqrd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)})
37		rfcnpre1.6	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐵 < (𝐹‘𝑥)}
38	36, 37	syl6eqr 2872	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = 𝐴)
39		iooretop 23366	. . . 4 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
40	39, 16	eleqtrri 2910	. . 3 ⊢ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾
41		cnima 21865	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾) → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
42	10, 40, 41	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
43	38, 42	eqeltrrd 2912	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2959  ∀wral 3136  {crab 3140  ∪ cuni 4830   class class class wbr 5057  ^◡ccnv 5547  ran crn 5549   “ cima 5551   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℝcr 10528  +∞cpnf 10664  ℝ^*cxr 10666   < clt 10667  (,)cioo 12730  topGenctg 16703  Topctop 21493  TopOnctopon 21510   Cn ccn 21824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ioo 12734  df-topgen 16709  df-top 21494  df-topon 21511  df-bases 21546  df-cn 21827

This theorem is referenced by:  stoweidlem46  42321