Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rfcnpre1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rfcnpre1 38658
Description: If F is a continuous function with respect to the standard topology, then the preimage A of the values greater than a given extended real B is an open set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rfcnpre1.1 𝑥𝐵
rfcnpre1.2 𝑥𝐹
rfcnpre1.3 𝑥𝜑
rfcnpre1.4 𝐾 = (topGen‘ran (,))
rfcnpre1.5 𝑋 = 𝐽
rfcnpre1.6 𝐴 = {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}
rfcnpre1.7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
rfcnpre1.8 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
rfcnpre1 (𝜑𝐴𝐽)

Proof of Theorem rfcnpre1
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rfcnpre1.3 . . . 4 𝑥𝜑
2 rfcnpre1.2 . . . . . 6 𝑥𝐹
32nfcnv 5261 . . . . 5 𝑥𝐹
4 rfcnpre1.1 . . . . . 6 𝑥𝐵
5 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥(,)
6 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥+∞
74, 5, 6nfov 6630 . . . . 5 𝑥(𝐵(,)+∞)
83, 7nfima 5433 . . . 4 𝑥(𝐹 “ (𝐵(,)+∞))
9 nfrab1 3111 . . . 4 𝑥{𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}
10 rfcnpre1.8 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
11 cntop1 20954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ Top)
13 rfcnpre1.5 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = 𝐽
14 istopon 20640 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 = 𝐽))
1512, 13, 14sylanblrc 696 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
16 rfcnpre1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (topGen‘ran (,))
17 retopon 22477 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
1816, 17eqeltri 2694 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)
19 iscn 20949 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℝ)) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
2015, 18, 19sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽)))
2110, 20mpbid 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑦𝐾 (𝐹𝑦) ∈ 𝐽))
2221simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2322ffvelrnda 6315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
24 rfcnpre1.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
25 elioopnf 12209 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹𝑥))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐵 < (𝐹𝑥))))
2726baibd 947 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹𝑥)))
2823, 27syldan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞) ↔ 𝐵 < (𝐹𝑥)))
2928pm5.32da 672 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥))))
30 ffn 6002 . . . . . 6 (𝐹:𝑋⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝑋)
31 elpreima 6293 . . . . . 6 (𝐹 Fn 𝑋 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
3222, 30, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ (𝑥𝑋 ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝐵(,)+∞))))
33 rabid 3106 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)))
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)} ↔ (𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥))))
3529, 32, 343bitr4d 300 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}))
361, 8, 9, 35eqrd 3602 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)})
37 rfcnpre1.6 . . 3 𝐴 = {𝑥𝑋𝐵 < (𝐹𝑥)}
3836, 37syl6eqr 2673 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) = 𝐴)
39 iooretop 22479 . . . 4 (𝐵(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
4039, 16eleqtrri 2697 . . 3 (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾
41 cnima 20979 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ (𝐵(,)+∞) ∈ 𝐾) → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4210, 40, 41sylancl 693 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ (𝐵(,)+∞)) ∈ 𝐽)
4338, 42eqeltrrd 2699 1 (𝜑𝐴𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  wnfc 2748  wral 2907  {crab 2911   cuni 4402   class class class wbr 4613  ccnv 5073  ran crn 5075  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  (,)cioo 12117  topGenctg 16019  Topctop 20617  TopOnctopon 20618   Cn ccn 20938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-ioo 12121  df-topgen 16025  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cn 20941
This theorem is referenced by:  stoweidlem46  39567
  Copyright terms: Public domain W3C validator