MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0ssre 12394
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 12392 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
21simplbi 478 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
32ssriv 3713 1 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2103  wss 3680   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  +∞cpnf 10184  cle 10188  [,)cico 12291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-ico 12295
This theorem is referenced by:  fsumge0  14647  abvf  18946  rege0subm  19925  rge0srg  19940  icopnfhmeo  22864  iccpnfcnv  22865  cphsqrtcl  23105  ovollb2lem  23377  ovollb2  23378  ovolunlem1a  23385  ovolunlem1  23386  ovoliunlem1  23391  ovolicc1  23405  ovolicc2lem4  23409  ovolre  23414  ioombl1lem2  23448  ioombl1lem4  23450  uniioombllem1  23470  uniioombllem2  23472  uniioombllem3  23474  uniioombllem6  23477  0plef  23559  mbfi1fseqlem3  23604  mbfi1fseqlem4  23605  mbfi1fseqlem5  23606  itg2mulclem  23633  itg2mulc  23634  itg2monolem1  23637  itg2mono  23640  itg2i1fseq  23642  itg2gt0  23647  itg2cnlem1  23648  itg2cnlem2  23649  cxpcn3  24609  rlimcnp  24812  efrlim  24816  jensenlem1  24833  jensenlem2  24834  jensen  24835  amgm  24837  axcontlem10  25973  xrge0adddir  29922  fsumrp0cl  29925  xrge0slmod  30074  xrge0iifcnv  30209  lmlimxrge0  30224  rge0scvg  30225  lmdvg  30229  esumfsupre  30363  esumpfinvallem  30366  esumpfinval  30367  esumpfinvalf  30368  esumpcvgval  30370  esumcvg  30378  sibfof  30632  sitgclg  30634  sitgaddlemb  30640  hgt750lemf  30961  hgt750leme  30966  tgoldbachgtde  30968  itg2addnclem2  33694  itg2addnclem3  33695  itg2gt0cn  33697  ftc1anclem3  33719  areacirclem2  33733  xralrple2  39985  ge0xrre  40178  fsumge0cl  40225  liminfresre  40431  fouriersw  40868  sge0rnre  41001  fge0iccre  41011  sge0sn  41016  sge0tsms  41017  sge0f1o  41019  sge0repnf  41023  sge0fsum  41024  sge0pr  41031  sge0ltfirp  41037  sge0resplit  41043  sge0le  41044  sge0split  41046  sge0iunmptlemre  41052  sge0isum  41064  sge0ad2en  41068  sge0isummpt2  41069  sge0xaddlem1  41070  sge0xaddlem2  41071  sge0gtfsumgt  41080  sge0uzfsumgt  41081  sge0seq  41083  sge0reuz  41084  sge0reuzb  41085  meassre  41114  meaiuninclem  41117  omessre  41147  omeiunltfirp  41156  carageniuncl  41160  hoidmvlelem1  41232  hoidmvlelem2  41233  hoidmvlelem3  41234  hoidmvlelem4  41235  hoidmvlelem5  41236  hspmbllem1  41263
  Copyright terms: Public domain W3C validator