Theorem rge0ssre 12838

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 12836	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
2	1	simplbi 500	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	ssriv 3970	1 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  +∞cpnf 10666   ≤ cle 10670  [,)cico 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738

This theorem is referenced by:  fsumge0  15144  fprodge0  15341  abvf  19588  rege0subm  20595  rge0srg  20610  icopnfhmeo  23541  iccpnfcnv  23542  cphsqrtcl  23782  ovollb2lem  24083  ovollb2  24084  ovolunlem1a  24091  ovolunlem1  24092  ovoliunlem1  24097  ovolicc1  24111  ovolicc2lem4  24115  ovolre  24120  ioombl1lem2  24154  ioombl1lem4  24156  uniioombllem1  24176  uniioombllem2  24178  uniioombllem3  24180  uniioombllem6  24183  0plef  24267  mbfi1fseqlem3  24312  mbfi1fseqlem4  24313  mbfi1fseqlem5  24314  itg2mulclem  24341  itg2mulc  24342  itg2monolem1  24345  itg2mono  24348  itg2i1fseq  24350  itg2gt0  24355  itg2cnlem1  24356  itg2cnlem2  24357  cxpcn3  25323  rlimcnp  25537  efrlim  25541  jensenlem1  25558  jensenlem2  25559  jensen  25560  amgm  25562  axcontlem10  26753  ex-fpar  28235  xrge0adddir  30674  fsumrp0cl  30677  xrge0slmod  30912  xrge0iifcnv  31171  lmlimxrge0  31186  rge0scvg  31187  lmdvg  31191  esumfsupre  31325  esumpfinvallem  31328  esumpfinval  31329  esumpfinvalf  31330  esumpcvgval  31332  esumcvg  31340  sibfof  31593  sitgclg  31595  sitgaddlemb  31601  hgt750lemf  31919  hgt750leme  31924  tgoldbachgtde  31926  itg2addnclem2  34938  itg2addnclem3  34939  itg2gt0cn  34941  ftc1anclem3  34963  areacirclem2  34977  xralrple2  41615  ge0xrre  41800  fsumge0cl  41847  liminfresre  42053  fouriersw  42510  sge0rnre  42640  fge0iccre  42650  sge0sn  42655  sge0tsms  42656  sge0f1o  42658  sge0repnf  42662  sge0fsum  42663  sge0pr  42670  sge0ltfirp  42676  sge0resplit  42682  sge0le  42683  sge0split  42685  sge0iunmptlemre  42691  sge0isum  42703  sge0ad2en  42707  sge0isummpt2  42708  sge0xaddlem1  42709  sge0xaddlem2  42710  sge0gtfsumgt  42719  sge0uzfsumgt  42720  sge0seq  42722  sge0reuz  42723  sge0reuzb  42724  meassre  42753  meaiuninclem  42756  omessre  42786  omeiunltfirp  42795  carageniuncl  42799  hoidmvlelem1  42871  hoidmvlelem2  42872  hoidmvlelem3  42873  hoidmvlelem4  42874  hoidmvlelem5  42875  hspmbllem1  42902