MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rge0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0ssre 12222
Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
rge0ssre (0[,)+∞) ⊆ ℝ

Proof of Theorem rge0ssre
StepHypRef Expression
1 elrege0 12220 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
21simplbi 476 . 2 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
32ssriv 3587 1 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  +∞cpnf 10015  cle 10019  [,)cico 12119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-ico 12123
This theorem is referenced by:  fsumge0  14454  abvf  18744  rege0subm  19721  rge0srg  19736  icopnfhmeo  22650  iccpnfcnv  22651  cphsqrtcl  22892  ovollb2lem  23163  ovollb2  23164  ovolunlem1a  23171  ovolunlem1  23172  ovoliunlem1  23177  ovolicc1  23191  ovolicc2lem4  23195  ovolre  23200  ioombl1lem2  23234  ioombl1lem4  23236  uniioombllem1  23255  uniioombllem2  23257  uniioombllem3  23259  uniioombllem6  23262  0plef  23345  mbfi1fseqlem3  23390  mbfi1fseqlem4  23391  mbfi1fseqlem5  23392  itg2mulclem  23419  itg2mulc  23420  itg2monolem1  23423  itg2mono  23426  itg2i1fseq  23428  itg2gt0  23433  itg2cnlem1  23434  itg2cnlem2  23435  cxpcn3  24389  rlimcnp  24592  efrlim  24596  jensenlem1  24613  jensenlem2  24614  jensen  24615  amgm  24617  axcontlem10  25753  xrge0adddir  29474  fsumrp0cl  29477  xrge0slmod  29626  xrge0iifcnv  29758  lmlimxrge0  29773  rge0scvg  29774  lmdvg  29778  esumfsupre  29911  esumpfinvallem  29914  esumpfinval  29915  esumpfinvalf  29916  esumpcvgval  29918  esumcvg  29926  sibfof  30180  sitgclg  30182  sitgaddlemb  30188  itg2addnclem2  33091  itg2addnclem3  33092  itg2gt0cn  33094  ftc1anclem3  33116  areacirclem2  33130  xralrple2  39031  ge0xrre  39166  fsumge0cl  39206  fouriersw  39752  sge0rnre  39885  fge0iccre  39895  sge0sn  39900  sge0tsms  39901  sge0f1o  39903  sge0repnf  39907  sge0fsum  39908  sge0pr  39915  sge0ltfirp  39921  sge0resplit  39927  sge0le  39928  sge0split  39930  sge0iunmptlemre  39936  sge0isum  39948  sge0ad2en  39952  sge0isummpt2  39953  sge0xaddlem1  39954  sge0xaddlem2  39955  sge0gtfsumgt  39964  sge0uzfsumgt  39965  sge0seq  39967  sge0reuz  39968  sge0reuzb  39969  meassre  39998  meaiuninclem  40001  omessre  40028  omeiunltfirp  40037  carageniuncl  40041  hoidmvlelem1  40113  hoidmvlelem2  40114  hoidmvlelem3  40115  hoidmvlelem4  40116  hoidmvlelem5  40117  hspmbllem1  40144
  Copyright terms: Public domain W3C validator