Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rgspncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rgspncl 37259
 Description: The ring-span of a set is a subring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rgspnval.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
rgspnval.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
rgspnval.ss (𝜑𝐴𝐵)
rgspnval.n (𝜑𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
rgspnval.sp (𝜑𝑈 = (𝑁𝐴))
Assertion
Ref Expression
rgspncl (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))

Proof of Theorem rgspncl
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rgspnval.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 rgspnval.b . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
3 rgspnval.ss . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
4 rgspnval.n . . 3 (𝜑𝑁 = (RingSpan‘𝑅))
5 rgspnval.sp . . 3 (𝜑𝑈 = (𝑁𝐴))
61, 2, 3, 4, 5rgspnval 37258 . 2 (𝜑𝑈 = {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡})
7 ssrab2 3672 . . 3 {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅)
8 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98subrgid 18722 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ (SubRing‘𝑅))
112, 10eqeltrd 2698 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅))
12 sseq2 3612 . . . . . 6 (𝑡 = 𝐵 → (𝐴𝑡𝐴𝐵))
1312rspcev 3299 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴𝑡)
1411, 3, 13syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴𝑡)
15 rabn0 3938 . . . 4 ({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ≠ ∅ ↔ ∃𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅)𝐴𝑡)
1614, 15sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ≠ ∅)
17 subrgint 18742 . . 3 (({𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ⊆ (SubRing‘𝑅) ∧ {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ≠ ∅) → {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
187, 16, 17sylancr 694 . 2 (𝜑 {𝑡 ∈ (SubRing‘𝑅) ∣ 𝐴𝑡} ∈ (SubRing‘𝑅))
196, 18eqeltrd 2698 1 (𝜑𝑈 ∈ (SubRing‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∃wrex 2909  {crab 2912   ⊆ wss 3560  ∅c0 3897  ∩ cint 4447  ‘cfv 5857  Basecbs 15800  Ringcrg 18487  SubRingcsubrg 18716  RingSpancrgspn 18717 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-subg 17531  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-subrg 18718  df-rgspn 18719 This theorem is referenced by:  rngunsnply  37263
 Copyright terms: Public domain W3C validator