MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmpropd 18863
Description: Ring homomorphism depends only on the ring attributes of structures. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmpropd.a (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
rhmpropd.b (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
rhmpropd.c (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rhmpropd.d (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
rhmpropd.e ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
rhmpropd.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
rhmpropd.g ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
rhmpropd.h ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rhmpropd (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐽   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem rhmpropd
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rhmpropd.a . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐽))
2 rhmpropd.c . . . . . 6 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
3 rhmpropd.e . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐽)𝑦) = (𝑥(+g𝐿)𝑦))
4 rhmpropd.g . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
51, 2, 3, 4ringpropd 18628 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6 rhmpropd.b . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝐾))
7 rhmpropd.d . . . . . 6 (𝜑𝐶 = (Base‘𝑀))
8 rhmpropd.f . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g𝐾)𝑦) = (𝑥(+g𝑀)𝑦))
9 rhmpropd.h . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝑀)𝑦))
106, 7, 8, 9ringpropd 18628 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝑀 ∈ Ring))
115, 10anbi12d 747 . . . 4 (𝜑 → ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring)))
121, 6, 2, 7, 3, 8ghmpropd 17745 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 GrpHom 𝐾) = (𝐿 GrpHom 𝑀))
1312eleq2d 2716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀)))
14 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐽) = (mulGrp‘𝐽)
15 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐽) = (Base‘𝐽)
1614, 15mgpbas 18541 . . . . . . . 8 (Base‘𝐽) = (Base‘(mulGrp‘𝐽))
171, 16syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐽)))
18 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
19 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2018, 19mgpbas 18541 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
216, 20syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
22 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
23 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
2422, 23mgpbas 18541 . . . . . . . 8 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
252, 24syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
26 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑀) = (mulGrp‘𝑀)
27 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2826, 27mgpbas 18541 . . . . . . . 8 (Base‘𝑀) = (Base‘(mulGrp‘𝑀))
297, 28syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑀)))
30 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (.r𝐽) = (.r𝐽)
3114, 30mgpplusg 18539 . . . . . . . . 9 (.r𝐽) = (+g‘(mulGrp‘𝐽))
3231oveqi 6703 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐽)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦)
33 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (.r𝐿) = (.r𝐿)
3422, 33mgpplusg 18539 . . . . . . . . 9 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
3534oveqi 6703 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
364, 32, 353eqtr3g 2708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐽))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
37 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (.r𝐾) = (.r𝐾)
3818, 37mgpplusg 18539 . . . . . . . . 9 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
3938oveqi 6703 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
40 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (.r𝑀) = (.r𝑀)
4126, 40mgpplusg 18539 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (+g‘(mulGrp‘𝑀))
4241oveqi 6703 . . . . . . . 8 (𝑥(.r𝑀)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦)
439, 39, 423eqtr3g 2708 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐶𝑦𝐶)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑀))𝑦))
4417, 21, 25, 29, 36, 43mhmpropd 17388 . . . . . 6 (𝜑 → ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) = ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))
4544eleq2d 2716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)) ↔ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))
4613, 45anbi12d 747 . . . 4 (𝜑 → ((𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾))) ↔ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
4711, 46anbi12d 747 . . 3 (𝜑 → (((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀))))))
4814, 18isrhm 18769 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐽 GrpHom 𝐾) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐽) MndHom (mulGrp‘𝐾)))))
4922, 26isrhm 18769 . . 3 (𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀) ↔ ((𝐿 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ Ring) ∧ (𝑓 ∈ (𝐿 GrpHom 𝑀) ∧ 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝐿) MndHom (mulGrp‘𝑀)))))
5047, 48, 493bitr4g 303 . 2 (𝜑 → (𝑓 ∈ (𝐽 RingHom 𝐾) ↔ 𝑓 ∈ (𝐿 RingHom 𝑀)))
5150eqrdv 2649 1 (𝜑 → (𝐽 RingHom 𝐾) = (𝐿 RingHom 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989   MndHom cmhm 17380   GrpHom cghm 17704  mulGrpcmgp 18535  Ringcrg 18593   RingHom crh 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763
This theorem is referenced by:  evls1rhm  19735  evl1rhm  19744  zrhpropd  19911
  Copyright terms: Public domain W3C validator