Theorem rhmsubcALTV 44373

Description: According to df-subc 17076, the subcategories (Subcat‘𝐶) of a category 𝐶 are subsets of the homomorphisms of 𝐶 (see subcssc 17104 and subcss2 17107). Therefore, the set of unital ring homomorphisms is a "subcategory" of the category of non-unital rings. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhmALTV.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhmALTV.c	⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
rngcrescrhmALTV.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhmALTV.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcALTV	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Proof of Theorem rhmsubcALTV

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngcrescrhmALTV.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rngcrescrhmALTV.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
3		eqidd 2822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈))
4	1, 2, 3	rhmsscrnghm 44291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) ⊆cat ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
5		rngcrescrhmALTV.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)))
7		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (RngCatALTV‘𝑈) = (RngCatALTV‘𝑈)
8		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Rng ∩ 𝑈) = (Rng ∩ 𝑈)
9		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈))
10	7, 8, 1, 9	rngchomrnghmresALTV 44261	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) = ( RngHomo ↾ ((Rng ∩ 𝑈) × (Rng ∩ 𝑈))))
11	4, 6, 10	3brtr4d 5090	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)))
12		rngcrescrhmALTV.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (RngCatALTV‘𝑈)
13	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem3 44371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
14	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem4 44372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
15	14	ralrimivva 3191	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
16	15	ralrimivva 3191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
17	13, 16	jca 514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
18	17	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
19		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Id‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (Id‘(RngCatALTV‘𝑈))
20		eqid 2821	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCatALTV‘𝑈)) = (comp‘(RngCatALTV‘𝑈))
21	7	rngccatALTV 44255	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
22	1, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (RngCatALTV‘𝑈) ∈ Cat)
23	1, 12, 2, 5	rhmsubcALTVlem1 44369	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
24	9, 19, 20, 22, 23	issubc2 17100	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘(RngCatALTV‘𝑈)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 (((Id‘(RngCatALTV‘𝑈))‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑅 ∀𝑧 ∈ 𝑅 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCatALTV‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
25	11, 18, 24	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘(RngCatALTV‘𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934  ⟨cop 4566   class class class wbr 5058   × cxp 5547   ↾ cres 5551  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  compcco 16571  Catccat 16929  Idccid 16930  Hom_f chomf 16931   ⊆_cat cssc 17071  Subcatcsubc 17073  Ringcrg 19291   RingHom crh 19458  Rngcrng 44139   RngHomo crngh 44150  RngCatALTVcrngcALTV 44223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-cat 16933  df-cid 16934  df-homf 16935  df-ssc 17074  df-subc 17076  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-ghm 18350  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-rnghom 19461  df-mgmhm 44040  df-rng0 44140  df-rnghomo 44152  df-rngcALTV 44225

This theorem is referenced by:  rhmsubcALTVcat  44374