Theorem rhmsubcsetc 44293

Description: The unital ring homomorphisms between unital rings (in a universe) are a subcategory of the category of extensible structures. (Contributed by AV, 9-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmsubcsetc.c	⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
rhmsubcsetc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rhmsubcsetc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
rhmsubcsetc.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubcsetc	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Proof of Theorem rhmsubcsetc

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmsubcsetc.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
2		rhmsubcsetc.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Ring ∩ 𝑈))
3	1, 2	rhmsscmap 44290	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)) ⊆cat (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
4		rhmsubcsetc.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
5		rhmsubcsetc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ExtStrCat‘𝑈)
6		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	5, 1, 6	estrchomfeqhom 17385	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶))
8	5, 1, 6	estrchomfval 17375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
9	7, 8	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Homf ‘𝐶) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ ((Base‘𝑦) ↑m (Base‘𝑥))))
10	3, 4, 9	3brtr4d 5097	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶))
11	5, 1, 2, 4	rhmsubcsetclem1 44291	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥))
12	5, 1, 2, 4	rhmsubcsetclem2 44292	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
13	11, 12	jca 514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
14	13	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))
15		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Homf ‘𝐶) = (Homf ‘𝐶)
16		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
17		eqid 2821	. . 3 ⊢ (comp‘𝐶) = (comp‘𝐶)
18	5	estrccat 17382	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
19	1, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
20		incom 4177	. . . . 5 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
21	2, 20	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝑈 ∩ Ring))
22	21, 4	rhmresfn 44279	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn (𝐵 × 𝐵))
23	15, 16, 17, 19, 22	issubc2 17105	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶) ↔ (𝐻 ⊆cat (Homf ‘𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (((Id‘𝐶)‘𝑥) ∈ (𝑥𝐻𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝐶)𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧)))))
24	10, 14, 23	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Subcat‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ∩ cin 3934  ⟨cop 4572   class class class wbr 5065   × cxp 5552   ↾ cres 5556  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∈ cmpo 7157   ↑_m cmap 8405  Basecbs 16482  Hom chom 16575  compcco 16576  Catccat 16934  Idccid 16935  Hom_f chomf 16936   ⊆_cat cssc 17076  Subcatcsubc 17078  ExtStrCatcestrc 17371  Ringcrg 19296   RingHom crh 19463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-cat 16938  df-cid 16939  df-homf 16940  df-ssc 17079  df-resc 17080  df-subc 17081  df-estrc 17372  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-grp 18105  df-ghm 18355  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-rnghom 19466  df-ringc 44275

This theorem is referenced by:  ringccat  44294  ringcid  44295  funcringcsetc  44305