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Theorem riesz3i 28123
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ConFn
Assertion
Ref Expression
riesz3i 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz3i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 27062 . . 3 0 ∈ ℋ
2 nlelch.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ LinFn
32lnfnfi 28102 . . . . . 6 𝑇: ℋ⟶ℂ
4 fveq2 5986 . . . . . . . . 9 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (⊥‘0))
5 nlelch.2 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ConFn
62, 5nlelchi 28122 . . . . . . . . . 10 (null‘𝑇) ∈ C
76ococi 27466 . . . . . . . . 9 (⊥‘(⊥‘(null‘𝑇))) = (null‘𝑇)
8 choc0 27387 . . . . . . . . 9 (⊥‘0) = ℋ
94, 7, 83eqtr3g 2571 . . . . . . . 8 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (null‘𝑇) = ℋ)
109eleq2d 2577 . . . . . . 7 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → (𝑣 ∈ (null‘𝑇) ↔ 𝑣 ∈ ℋ))
1110biimpar 500 . . . . . 6 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ (null‘𝑇))
12 elnlfn2 27990 . . . . . 6 ((𝑇: ℋ⟶ℂ ∧ 𝑣 ∈ (null‘𝑇)) → (𝑇𝑣) = 0)
133, 11, 12sylancr 693 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = 0)
14 hi02 27156 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1514adantl 480 . . . . 5 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 0) = 0)
1613, 15eqtr4d 2551 . . . 4 (((⊥‘(null‘𝑇)) = 0𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
1716ralrimiva 2853 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0))
18 oveq2 6433 . . . . . 6 (𝑤 = 0 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 0))
1918eqeq2d 2524 . . . . 5 (𝑤 = 0 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2019ralbidv 2873 . . . 4 (𝑤 = 0 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)))
2120rspcev 3186 . . 3 ((0 ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 0)) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
221, 17, 21sylancr 693 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) = 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
236choccli 27368 . . . 4 (⊥‘(null‘𝑇)) ∈ C
2423chne0i 27514 . . 3 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 ↔ ∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0)
2523cheli 27291 . . . . 5 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → 𝑢 ∈ ℋ)
263ffvelrni 6149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
2726adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
28 hicl 27139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
2928anidms 674 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
3029adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
31 his6 27158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) = 0 ↔ 𝑢 = 0))
3231necon3bid 2730 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ ℋ → ((𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0 ↔ 𝑢 ≠ 0))
3332biimpar 500 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)
3427, 30, 33divcld 10548 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
3534cjcld 13639 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → (∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ)
36 simpl 471 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → 𝑢 ∈ ℋ)
37 hvmulcl 27072 . . . . . . . . 9 (((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3835, 36, 37syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
3938adantll 745 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ)
40 hvmulcl 27072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
4126, 40sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ)
423ffvelrni 6149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
43 hvmulcl 27072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4442, 43sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
4544ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ)
46 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
47 his2sub 27151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4841, 45, 46, 47syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)))
4926adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
50 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
51 ax-his3 27143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5249, 50, 46, 51syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
5342adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
54 ax-his3 27143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5553, 46, 46, 54syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
5652, 55oveq12d 6443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ·ih 𝑢) − (((𝑇𝑣) · 𝑢) ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
5748, 56eqtr2d 2549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
5857adantll 745 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢))
59 hvsubcl 27076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
6041, 45, 59syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ)
612lnfnsubi 28107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) · 𝑢) ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
6241, 45, 61syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))))
632lnfnmuli 28105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6426, 63sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
652lnfnmuli 28105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)))
66 mulcom 9775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6726, 66sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑇𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6865, 67eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
6942, 68sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7069ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢)) = ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)))
7164, 70oveq12d 6443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇‘((𝑇𝑢) · 𝑣)) − (𝑇‘((𝑇𝑣) · 𝑢))) = (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))))
72 mulcl 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7326, 42, 72syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) ∈ ℂ)
7473subidd 10129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣)) − ((𝑇𝑢) · (𝑇𝑣))) = 0)
7562, 71, 743eqtrd 2552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)
76 elnlfn 27989 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇: ℋ⟶ℂ → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0)))
773, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ↔ ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘(((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢))) = 0))
7860, 75, 77sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇))
796chssii 27290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (null‘𝑇) ⊆ ℋ
80 ocorth 27352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((null‘𝑇) ⊆ ℋ → (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0))
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ∈ (null‘𝑇) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8278, 81sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8382ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ (𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ)) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8483anassrs 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · 𝑣) − ((𝑇𝑣) · 𝑢)) ·ih 𝑢) = 0)
8558, 84eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0)
86 hicl 27139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8786ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
8849, 87mulcld 9813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
89 mulcl 9773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9042, 29, 89syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9188, 90subeq0ad 10151 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9291adantll 745 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) − ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))) = 0 ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
9385, 92mpbid 220 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9493adantlr 746 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢)))
9588adantlr 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
9642adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
9730, 33jca 552 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
9897adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0))
99 divmul3 10437 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑣) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10095, 96, 98, 99syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
101100adantlll 749 . . . . . . . . . 10 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣) ↔ ((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) = ((𝑇𝑣) · (𝑢 ·ih 𝑢))))
10294, 101mpbird 245 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑇𝑣))
10327adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑢) ∈ ℂ)
10487adantlr 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ)
105 div23 10451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑣 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ ((𝑢 ·ih 𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝑢 ·ih 𝑢) ≠ 0)) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
106103, 104, 98, 105syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
10734adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ)
108 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑣 ∈ ℋ)
109 simpll 785 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
110 his52 27146 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
111107, 108, 109, 110syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)) = (((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢)) · (𝑣 ·ih 𝑢)))
112106, 111eqtr4d 2551 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
113112adantlll 749 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑢) · (𝑣 ·ih 𝑢)) / (𝑢 ·ih 𝑢)) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
114102, 113eqtr3d 2550 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) ∧ 𝑣 ∈ ℋ) → (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
115114ralrimiva 2853 . . . . . . 7 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
116 oveq2 6433 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢)))
117116eqeq2d 2524 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
118117ralbidv 2873 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))))
119118rspcev 3186 . . . . . . 7 ((((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢) ∈ ℋ ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih ((∗‘((𝑇𝑢) / (𝑢 ·ih 𝑢))) · 𝑢))) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12039, 115, 119syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) ∧ 𝑢 ≠ 0) → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
121120ex 448 . . . . 5 ((𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
12225, 121mpdan 698 . . . 4 (𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇)) → (𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)))
123122rexlimiv 2913 . . 3 (∃𝑢 ∈ (⊥‘(null‘𝑇))𝑢 ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12424, 123sylbi 205 . 2 ((⊥‘(null‘𝑇)) ≠ 0 → ∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤))
12522, 124pm2.61ine 2769 1 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wral 2800  wrex 2801  wss 3444  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9687  0cc0 9689   · cmul 9694  cmin 10015   / cdiv 10431  ccj 13539  chil 26978   · csm 26980   ·ih csp 26981  0c0v 26983   cmv 26984  cort 26989  0c0h 26994  nullcnl 27011  ConFnccnfn 27012  LinFnclf 27013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cc 9014  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767  ax-addf 9768  ax-mulf 9769  ax-hilex 27058  ax-hfvadd 27059  ax-hvcom 27060  ax-hvass 27061  ax-hv0cl 27062  ax-hvaddid 27063  ax-hfvmul 27064  ax-hvmulid 27065  ax-hvmulass 27066  ax-hvdistr1 27067  ax-hvdistr2 27068  ax-hvmul0 27069  ax-hfi 27138  ax-his1 27141  ax-his2 27142  ax-his3 27143  ax-his4 27144  ax-hcompl 27261
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-of 6669  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-supp 7056  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-omul 7326  df-er 7503  df-map 7620  df-pm 7621  df-ixp 7669  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-fsupp 8033  df-fi 8074  df-sup 8105  df-inf 8106  df-oi 8172  df-card 8522  df-acn 8525  df-cda 8747  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-4 10834  df-5 10835  df-6 10836  df-7 10837  df-8 10838  df-9 10839  df-10OLD 10840  df-n0 11046  df-z 11117  df-dec 11232  df-uz 11424  df-q 11527  df-rp 11571  df-xneg 11684  df-xadd 11685  df-xmul 11686  df-ioo 11916  df-ico 11918  df-icc 11919  df-fz 12063  df-fzo 12200  df-fl 12320  df-seq 12529  df-exp 12588  df-hash 12845  df-cj 13542  df-re 13543  df-im 13544  df-sqrt 13678  df-abs 13679  df-clim 13929  df-rlim 13930  df-sum 14130  df-struct 15602  df-ndx 15603  df-slot 15604  df-base 15605  df-sets 15606  df-ress 15607  df-plusg 15686  df-mulr 15687  df-starv 15688  df-sca 15689  df-vsca 15690  df-ip 15691  df-tset 15692  df-ple 15693  df-ds 15696  df-unif 15697  df-hom 15698  df-cco 15699  df-rest 15811  df-topn 15812  df-0g 15830  df-gsum 15831  df-topgen 15832  df-pt 15833  df-prds 15836  df-xrs 15890  df-qtop 15896  df-imas 15897  df-xps 15900  df-mre 15982  df-mrc 15983  df-acs 15985  df-mgm 16978  df-sgrp 17020  df-mnd 17031  df-submnd 17072  df-mulg 17277  df-cntz 17486  df-cmn 17947  df-psmet 19484  df-xmet 19485  df-met 19486  df-bl 19487  df-mopn 19488  df-fbas 19489  df-fg 19490  df-cnfld 19493  df-top 20445  df-bases 20446  df-topon 20447  df-topsp 20448  df-cld 20557  df-ntr 20558  df-cls 20559  df-nei 20636  df-cn 20765  df-cnp 20766  df-lm 20767  df-haus 20853  df-tx 21099  df-hmeo 21292  df-fil 21384  df-fm 21476  df-flim 21477  df-flf 21478  df-xms 21858  df-ms 21859  df-tms 21860  df-cfil 22749  df-cau 22750  df-cmet 22751  df-grpo 26499  df-gid 26500  df-ginv 26501  df-gdiv 26502  df-ablo 26554  df-vc 26569  df-nv 26617  df-va 26620  df-ba 26621  df-sm 26622  df-0v 26623  df-vs 26624  df-nmcv 26625  df-ims 26626  df-dip 26743  df-ssp 26767  df-ph 26860  df-cbn 26911  df-hnorm 27027  df-hba 27028  df-hvsub 27030  df-hlim 27031  df-hcau 27032  df-sh 27266  df-ch 27280  df-oc 27311  df-ch0 27312  df-nlfn 27907  df-cnfn 27908  df-lnfn 27909
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