HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  riesz4i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem riesz4i 28100
Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Uniqueness part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nlelch.1 𝑇 ∈ LinFn
nlelch.2 𝑇 ∈ ConFn
Assertion
Ref Expression
riesz4i ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Distinct variable group:   𝑤,𝑣,𝑇

Proof of Theorem riesz4i
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nlelch.1 . . 3 𝑇 ∈ LinFn
2 nlelch.2 . . 3 𝑇 ∈ ConFn
31, 2riesz3i 28099 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
4 r19.26 3046 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) ↔ (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
5 oveq12 6536 . . . . . . . 8 (((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)))
71lnfnfi 28078 . . . . . . . . . 10 𝑇: ℋ⟶ℂ
87ffvelrni 6251 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℋ → (𝑇𝑣) ∈ ℂ)
98subidd 10232 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℋ → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑇𝑣) − (𝑇𝑣)) = 0)
116, 10eqtr3d 2646 . . . . . 6 ((𝑣 ∈ ℋ ∧ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢))) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
1211ralimiaa 2935 . . . . 5 (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
134, 12sylbir 224 . . . 4 ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → ∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0)
14 hvsubcl 27052 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (𝑤 𝑢) ∈ ℋ)
15 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑤) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤))
16 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (𝑣 ·ih 𝑢) = ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢))
1715, 16oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
1817eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑣 = (𝑤 𝑢) → (((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
1918rspcv 3278 . . . . . 6 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
2014, 19syl 17 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
21 normcl 27160 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℝ)
2221recnd 9925 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ)
23 sqeq0 12747 . . . . . . . . 9 ((norm‘(𝑤 𝑢)) ∈ ℂ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (norm‘(𝑤 𝑢)) = 0))
25 norm-i 27164 . . . . . . . 8 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢)) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2624, 25bitrd 267 . . . . . . 7 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
2714, 26syl 17 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (𝑤 𝑢) = 0))
28 normsq 27169 . . . . . . . . 9 ((𝑤 𝑢) ∈ ℋ → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
2914, 28syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)))
30 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑤 ∈ ℋ)
31 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → 𝑢 ∈ ℋ)
32 his2sub2 27128 . . . . . . . . 9 (((𝑤 𝑢) ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3314, 30, 31, 32syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) ·ih (𝑤 𝑢)) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3429, 33eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)))
3534eqeq1d 2612 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑤 𝑢))↑2) = 0 ↔ (((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0))
36 hvsubeq0 27103 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((𝑤 𝑢) = 0𝑤 = 𝑢))
3727, 35, 363bitr3d 297 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((((𝑤 𝑢) ·ih 𝑤) − ((𝑤 𝑢) ·ih 𝑢)) = 0 ↔ 𝑤 = 𝑢))
3820, 37sylibd 228 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → (∀𝑣 ∈ ℋ ((𝑣 ·ih 𝑤) − (𝑣 ·ih 𝑢)) = 0 → 𝑤 = 𝑢))
3913, 38syl5 33 . . 3 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑢 ∈ ℋ) → ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢))
4039rgen2a 2960 . 2 𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)
41 oveq2 6535 . . . . 5 (𝑤 = 𝑢 → (𝑣 ·ih 𝑤) = (𝑣 ·ih 𝑢))
4241eqeq2d 2620 . . . 4 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4342ralbidv 2969 . . 3 (𝑤 = 𝑢 → (∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)))
4443reu4 3367 . 2 (∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ↔ (∃𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑤 ∈ ℋ ∀𝑢 ∈ ℋ ((∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤) ∧ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑢)) → 𝑤 = 𝑢)))
453, 40, 44mpbir2an 957 1 ∃!𝑤 ∈ ℋ ∀𝑣 ∈ ℋ (𝑇𝑣) = (𝑣 ·ih 𝑤)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  ∃!wreu 2898  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  0cc0 9793  cmin 10118  2c2 10920  cexp 12680  chil 26954   ·ih csp 26957  normcno 26958  0c0v 26959   cmv 26960  ConFnccnfn 26988  LinFnclf 26989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27034  ax-hfvadd 27035  ax-hvcom 27036  ax-hvass 27037  ax-hv0cl 27038  ax-hvaddid 27039  ax-hfvmul 27040  ax-hvmulid 27041  ax-hvmulass 27042  ax-hvdistr1 27043  ax-hvdistr2 27044  ax-hvmul0 27045  ax-hfi 27114  ax-his1 27117  ax-his2 27118  ax-his3 27119  ax-his4 27120  ax-hcompl 27237
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-lm 20791  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26577  df-vc 26592  df-nv 26625  df-va 26628  df-ba 26629  df-sm 26630  df-0v 26631  df-vs 26632  df-nmcv 26633  df-ims 26634  df-dip 26734  df-ssp 26755  df-ph 26846  df-cbn 26897  df-hnorm 27003  df-hba 27004  df-hvsub 27006  df-hlim 27007  df-hcau 27008  df-sh 27242  df-ch 27256  df-oc 27287  df-ch0 27288  df-nlfn 27883  df-cnfn 27884  df-lnfn 27885
This theorem is referenced by:  riesz4  28101
  Copyright terms: Public domain W3C validator