MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rimul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rimul 10855
Description: A real number times the imaginary unit is real only if the number is 0. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
rimul ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)

Proof of Theorem rimul
StepHypRef Expression
1 inelr 10854 . 2 ¬ i ∈ ℝ
2 ax-icn 9848 . . . . . . 7 i ∈ ℂ
32a1i 11 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℂ)
4 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
54recnd 9921 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simpr 475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
73, 5, 6divcan4d 10653 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) / 𝐴) = i)
8 simplr 787 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℝ)
98, 4, 6redivcld 10699 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((i · 𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
107, 9eqeltrrd 2685 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → i ∈ ℝ)
1110ex 448 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 0 → i ∈ ℝ))
1211necon1bd 2796 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → (¬ i ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
131, 12mpi 20 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  (class class class)co 6524  cc 9787  cr 9788  0cc0 9789  ici 9791   · cmul 9794   / cdiv 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531
This theorem is referenced by:  cru  10856  cju  10860  crre  13645  tanarg  24083
  Copyright terms: Public domain W3C validator